【轉載自：知乎--愛神的飛刀】
離散、連續概率分布小結＋python中的應用
本文為梳理離散、連續分布的導讀類筆記，大神請繞道，謝謝；
本文閱讀大約需要15分鍾左右；
若您發現文中有錯誤之處，歡迎留言指正，謝謝。
前言
隨機變量：量化隨機事件的函數，將每個可能的隨機事件結果賦予一個數字；
概率分布：分布是指數據在統計圖中的形狀，則概率分布是指將隨機變量的概率在統計圖中的表現形式；
四種離散分布：伯努利分布、二項分布、幾何分布、泊松分布等；
四種連續分布：正態分布、冪律分布、指數分布、 \beta 分布等。
一，離散分布
1.1 伯努利分布
# 准備要用到的包
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.stats as stats
# 生成一個0，1的數組
X=np.arange(0,2,1)
X
array([0, 1])
# 用bernoulli分布計算0和1時的概率分別是多少
p=0.5
y=stats.bernoulli.pmf(X,p)
y
array([ 0.5, 0.5])
plt.style.use('ggplot')
f,ax=plt.subplots(figsize=(8,5))
plt.scatter(X,y,marker='o',color='r')
plt.vlines(X,0,y,color='y')
# 設置圖像
plt.title('伯努利分布',fontsize=22)
plt.xlabel('隨機變量',fontsize=15)
plt.ylabel('概率',fontsize=15)
plt.show()
關於豎線vline
vline(x坐標值, y坐標最小值, y坐標值最大值)
plt.vlines(X,0,y)，其中X，y都是數組，且是一一對應關系。如上是，兩天豎線
1.2 二項分布(Binomial Distribution)
如何檢驗一個分布是不是二項分布？
做某件事的次數n是一定的；
n次事件是相互獨立的，而且每次的概率是一樣的，例如每次拋硬幣正面朝上的概率；
每次實驗有且只有兩個結果，p+q=1;
想知道n次中，某一種情況p或q出現k次的概率。
二項分布是離散分布，其概率用概率質量函數pmf計算
期望為np，方差為np(1-q)
以上就是二項分布的特征，如符合則該分布是二項分布。
二項分布概率質量函數PMF為：
P(k)=C^k_n p^k (1-p)^{n-k}
期望和方差：
- 期望：np , n次獨立事件預計成功多少次；
- 方差：np(1-p) , 用於估計數據的波動。
# 計算概率
n=5;p=0.5
x=np.arange(0,n+1,1)#准備隨機變量，拋5次關於正面朝上有6種可能
ylist=stats.binom.pmf(x,n,p)#計算出現各種可能的概率
ylist
array([ 0.03125, 0.15625, 0.3125 , 0.3125 , 0.15625, 0.03125])
# 繪圖
plt.style.use('ggplot')
f,ax=plt.subplots(figsize=(8,5))
plt.plot(x,ylist,marker='o',linestyle='',color='r')
plt.vlines(x,0,ylist,color='y')#繪制豎線
# 設置
#千萬注意％的使用:%d表示替換為整數，%0.2f替換為保留2為的浮點型數字，%s替換為字符串
plt.title('二項分布：n＝%d,p=%0.2f'%(n,p),fontsize=22)
plt.xticks(fontsize=12)
plt.xlabel('正面朝上的次數',fontsize=15)
plt.yticks(fontsize=12)
plt.ylabel('概率',fontsize=15)
# plt.text:第3個參數一定是文本，若其中有動態數字，一定要用格式化字符串％
for i in x:
plt.text(i,ylist[i]+0.006,'%0.5f' % ylist[i],ha='center', va= 'bottom',fontsize=11)
# ha='center':水平居中；va= 'bottom'：垂直方向在底部
plt.show()
1.3 幾何分布(Geometric Distribution)
如何檢驗一個分布是幾何分布？
做某件事的次數n是一定的；
n次事件是相互獨立的，而且每次的概率是一樣的，例如每次拋硬幣正面朝上的概率；
每次實驗有且只有兩個結果，p+q=1;
求的是第k次做某件事采取的第1次成功的概率
注意與二項分布的區別是：
二項分布：n次中共出現k次的概率
幾何分布：知道第k次才第1次成功的概率
幾何分布概率質量函數PMF及期望、方差：
P(k)=(1-p)^{k-1} p
期望：1/p , 用於估計多少次后取得第1次成功
方差： (1-p)/p^2 , 用於估計數據波動大小
# 定義隨機變量：計算n=5時，各個k對應的幾何分布概率
x=np.arange(1,6,1)
p=0.6
y_geo=stats.geom.pmf(x,p)
y_geo
array([ 0.6 , 0.24 , 0.096 , 0.0384 , 0.01536])
# 繪圖
f,ax=plt.subplots(figsize=(8,6))
plt.plot(x,y_geo,marker='o',linestyle='',color='r')
plt.vlines(x,0,y_geo,color='y')
# 設置
plt.title('幾何分布：k=[1~5],p=%.2f'% p,fontsize=22)
plt.xlabel('實驗次數',fontsize=15)
plt.ylabel('概率',fontsize=15)
plt.xticks(fontsize=12)
plt.yticks(fontsize=12)
# 設置數據點標簽，注意x從1開始，而y_geo索引從0開始
for i in x:
plt.text(i,y_geo[i-1]+0.006,'%.4f'% y_geo[i-1],
ha='center', va= 'bottom',fontsize=12)
plt.show()
1.4 泊松分布(Poisson Distribution)
如何驗證是泊松分布？
事件是獨立事件；
任意相同的時間范圍內，事件發生的概率相等；
求：某個時間范圍內事件發生k次的概率。
概率質量函數PMF和參數
k：事件發生的次數；
\mu ：給定時間范圍內事件發生的平均數
PMF： p(k)=u^k e^{-u}/k!
期望和方差都是： \mu
# 定義隨機變量
mu=2# 已知某路口每天平均發生2次交通事故
k=4# 求該路口1天發生4次交通事故的概率
y=stats.poisson.pmf(k,mu)
y
0.090223522157741778
# 定義隨機變量列表：0至4次
x=np.arange(0,k+1,1)
y_poiss=stats.poisson.pmf(x,mu)
y_poiss
array([ 0.13533528, 0.27067057, 0.27067057, 0.18044704, 0.09022352])
# 繪圖展示
f,ax=plt.subplots(figsize=(10,5))
plt.plot(x,y_poiss,marker='o',linestyle='')
plt.vlines(x,0,y_poiss,color='y')
plt.title('泊松分布：發生0至4次事故的概率分布，均值為:2',fontsize=22)
for i in x:
plt.text(i,y_poiss[i]+0.006,'%.5f'%y_poiss[i],
ha='center',va='bottom')
二，連續分布
幾種重要連續概率分布
正態分布
冪律分布
指數分布
\beta 分布
接下來重點介紹正態分布，其余分布在大量數據情況下也趨於正態分布。
因此，理解了正態分布是極其重要的。
正態分布
求正態分布的3個步驟
確定概率范圍：如x<3，明確了范圍
計算標准分：標准分＝(x-平均值)／標准差
查表看概率值：根據這個標准分查表
兩種情況下的概率
p(x>3)=1-p(x<3)
p(2<x<5)=p(x<5)-p(x<2)
import numpy as np
from scipy import stats
import matplotlib.pyplot as plt
plt.style.use('ggplot')
#定義隨機變量
mu=0
sigma=1
x=np.arange(-5,5,0.1)
x
array([ -5.00000000e+00, -4.90000000e+00, -4.80000000e+00,
-4.70000000e+00, -4.60000000e+00, -4.50000000e+00,
-4.40000000e+00, -4.30000000e+00, -4.20000000e+00,
-4.10000000e+00, -4.00000000e+00, -3.90000000e+00,
-3.80000000e+00, -3.70000000e+00, -3.60000000e+00,
-3.50000000e+00, -3.40000000e+00, -3.30000000e+00,
-3.20000000e+00, -3.10000000e+00, -3.00000000e+00,
-2.90000000e+00, -2.80000000e+00, -2.70000000e+00,
-2.60000000e+00, -2.50000000e+00, -2.40000000e+00,
-2.30000000e+00, -2.20000000e+00, -2.10000000e+00,
-2.00000000e+00, -1.90000000e+00, -1.80000000e+00,
-1.70000000e+00, -1.60000000e+00, -1.50000000e+00,
-1.40000000e+00, -1.30000000e+00, -1.20000000e+00,
-1.10000000e+00, -1.00000000e+00, -9.00000000e-01,
-8.00000000e-01, -7.00000000e-01, -6.00000000e-01,
-5.00000000e-01, -4.00000000e-01, -3.00000000e-01,
-2.00000000e-01, -1.00000000e-01, -1.77635684e-14,
1.00000000e-01, 2.00000000e-01, 3.00000000e-01,
4.00000000e-01, 5.00000000e-01, 6.00000000e-01,
7.00000000e-01, 8.00000000e-01, 9.00000000e-01,
1.00000000e+00, 1.10000000e+00, 1.20000000e+00,
1.30000000e+00, 1.40000000e+00, 1.50000000e+00,
1.60000000e+00, 1.70000000e+00, 1.80000000e+00,
1.90000000e+00, 2.00000000e+00, 2.10000000e+00,
2.20000000e+00, 2.30000000e+00, 2.40000000e+00,
2.50000000e+00, 2.60000000e+00, 2.70000000e+00,
2.80000000e+00, 2.90000000e+00, 3.00000000e+00,
3.10000000e+00, 3.20000000e+00, 3.30000000e+00,
3.40000000e+00, 3.50000000e+00, 3.60000000e+00,
3.70000000e+00, 3.80000000e+00, 3.90000000e+00,
4.00000000e+00, 4.10000000e+00, 4.20000000e+00,
4.30000000e+00, 4.40000000e+00, 4.50000000e+00,
4.60000000e+00, 4.70000000e+00, 4.80000000e+00,
4.90000000e+00])
# 定義概率密度函數PDF
y=stats.norm.pdf(x,mu,sigma)
# 求一個試試看：y(x<0)的概率密度函數值
y_0=stats.norm.pdf(0,mu,sigma)
print(y_0)
0.398942280401
plt.style.use('ggplot')
# 畫出概率密度函數y
f,ax=plt.subplots(figsize=(10,5))
plt.plot(x,y)
plt.vlines(0,0,y_0,linestyle='--',color='y')
plt.title('正態分布:$\mu$=%.1f,$\sigma$=%.1f'%(mu,sigma),fontsize=22)
plt.xlabel('隨機變量：x',fontsize=15)
plt.ylabel('概率：y',fontsize=15)
plt.xticks(fontsize=12)
plt.yticks(fontsize=12)
plt.show()
親自動手求 6\sigma 的區間
之前總聽說服從正太分布的數據，落在 6\sigma 之間的占到99.74%，那么99.74%究竟是怎么來的？該如何得出這個比例？
正太分布的概率，完全取決於 \mu $和 \sigma ，現以標准正太分布為例：
6\sigma ：即是求P(-3 )
根據求正太分布概率的步驟，先求出標准分，即3
查表可知，x=3時概率為0.9987
帶入第1步計算可知，2*0.9987-1=0.9974，即99.74%
三，小結
注意區分四種離散概率分布的適用情況、概率計算；
四種連續的概率分布，由於時間的關系，只來得及整理正態分布，后面幾個將在日后整理更新到本文中。
理解為上。在理解的基礎上，在python中實現將大大加深記憶。
以上就是本文的全部，謝謝你查看
人氣稀薄 ，急需關愛 。
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