點乘和叉乘 的區別；

本文轉自：http://blog.csdn.net/zhiyi_2012/article/details/12972813

在數學中，數量積（也稱為內積、標量積、點積、點乘）是接受在實數R上的兩個向量並返回一個實數值標量的二元運算。它是歐幾里得空間的標准內積。

幾何學定義與例子

兩個向量a = [a₁, a₂,…, a_n]和b = [b₁, b₂,…, b_n]的點積定義為:

這里的Σ指示總和符號。

例如，兩個三維向量[1, 3, −5]和[4, −2, −1]的點積是

。

使用矩陣乘法並把（縱列）向量當作n×1 矩陣，點積還可以寫為:

，

這里的b^T指示矩陣b的轉置。

使用上面的例子，將一個1×3矩陣（就是行向量）乘以一個3×1向量得到結果(通過矩陣乘法的優勢得到1×1矩陣也就是標量):

。

幾何解釋

A· B = | A| | B| cos(θ).
| A| cos(θ)是 A到 B的投影。

在歐幾里得空間中，點積可以直觀地定義為

,

這里 |x| 表示x的范數（長度），θ表示兩個向量之間的角度。

注意：點積的形式定義和這個定義不同；在形式定義中，a和b的夾角是通過上述等式定義的。

這樣，兩個互相垂直的向量的點積總是零。若a和b都是單位向量（長度為1），它們的點積就是它們的夾角的余弦。那么，給定兩個向量，它們之間的夾角可以通過下列公式得到：

這個運算可以簡單地理解為：在點積運算中，第一個向量投影到第二個向量上（這里，向量的順序是不重要的，點積運算是可交換的），然后通過除以它們的標量長度來“標准化”。這樣，這個分數一定是小於等於1的，可以簡單地轉化成一個角度值。

需要注意的是，點積的幾何解釋通常只適用於 ()。在高維空間，其他的域或模中，點積只有一個定義，那就是

點積可以用來計算合力和功。若b為單位向量，則點積即為a在方向b的投影，即給出了力在這個方向上的分解。功即是力和位移的點積。

注：這樣引出內積概念更加自然