二叉排序樹 - 刪除節點策略及其圖形化(二叉樹查找)

二叉排序樹（BST，Binary Sort Tree）具有這樣的性質：對於二叉樹中的任意節點，如果它有左子樹或右子樹，則該節點的數據成員大於左子樹所有節點的數據成員，且小於右子樹所有節點的數據成員。排序二叉樹的中序遍歷結果是從小到大排列的。

二叉排序樹的查找和插入比較好理解，主要來看一下刪除時的情況。

如果需要查找並刪除如圖8-6-8中的37， 51， 73，93這些在二叉排序樹中是葉子的結點，那是很容易的，畢竟刪除它們對整棵樹來說，其他結點的結構並未受到影響。

對於要刪除的結點只有左子樹或只有右子樹的情況，相對也比較好解決。那就是結點刪除后，將它的左子樹或右子樹整個移動到刪除結點的位置即可，可以理解為獨子繼承父業。比如圖8-6-9，就是先刪除35和99兩結點，再刪除58結點的變化圖，最終，整個結構還是一個二叉排序樹。

但是對於要刪除的結點既有左子樹又有右子樹的情況怎么辦呢？比如圖8-6-10中的47結點若要刪除了，它的兩兒子和子孫們怎么辦呢？

前人總結的比較好的方法就是，找到需要刪除的結點p的直接前驅（或直接后繼）s，用s來替換結點p，然后再刪除此結點s，如圖8-6-12所示。

注意：這里的前驅和后繼是指中序遍歷時的順序。

Deletion

There are three possible cases to consider:

• Deleting a leaf (node with no children): Deleting a leaf is easy, as we can simply remove it from the tree.

• Deleting a node with one child: Remove the node and replace it with its child.

• Deleting a node with two children: Call the node to be deleted N. Do not delete N. Instead, choose either its in-order successor node or its in-

order predecessor node, R. Replace the value of N with the value of R, then delete R.

As with all binary trees, a node's in-order successor is the left-most child of its right subtree, and a node's in-order predecessor is the right-most 

child of its left subtree. In either case, this node will have zero or one children. Delete it according to one of the two simpler cases above.

下面來看代碼：（參考《linux c 編程一站式學習》

 

 C++ Code 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

/*************************************************************************     > File Name: binarysearchtree.h     > Author: Simba     > Mail: [e-mail]     > Created Time: Sat 29 Dec 2012 06:05:55 PM CST  ************************************************************************/ #ifndef BST_H #define BST_H typedef struct node *link; struct node {     unsigned char item;     link left, right; }; link search(link t, unsigned char key); link insert(link t, unsigned char key); link delete(link t, unsigned char key); void print_tree(link t); #endif

 C++ Code 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107

/*************************************************************************     > File Name: binarysearchtree.c     > Author: Simba     > Mail: [e-mail]     > Created Time: Sat 29 Dec 2012 06:08:08 PM CST  ************************************************************************/ #include<stdio.h> #include<stdlib.h> #include "binarysearchtree.h" static link make_node(unsigned char item) {     link p = malloc(sizeof(*p));     p->item = item;     p->left = p->right = NULL;     return p; } static void free_node(link p) {     free(p); } link search(link t, unsigned char key) {     if (!t)         return NULL;     if (t->item > key)         return search(t->left, key);     if (t->item < key)         return search(t->right, key);     /* if (t->item == key) */     return t; } link insert(link t, unsigned char key) {     if (!t)         return make_node(key);     if (t->item > key) /* insert to left subtree */         t->left = insert(t->left, key);     else /* if (t->item <= key), insert to right subtree */         t->right = insert(t->right, key);     return t; } link delete(link t, unsigned char key) {     link p;     if (!t)         return NULL;     if (t->item > key) /* delete from left subtree */         t->left = delete(t->left, key);     else if (t->item < key) /* delete from right subtree */         t->right = delete(t->right, key);     else   /* if (t->item == key) */     {         if (t->left == NULL && t->right == NULL)         {             /* if t is a leaf node */             free_node(t);             t =  NULL;         }         else if (t->left)  /* if t has left subtree */         {             /* replace t with the rightmost node in left subtree */             for (p = t->left; p->right; p = p->right);             t->item = p->item; /* 將左子樹下最靠右的節點值賦予想要刪除的節點 */             t->left = delete(t->left, t->item);          }                  else  /* if t has right subtree */         {             /* replace t with the leftmost node in right subtree */             for (p = t->right; p->left; p = p->left);             t->item = p->item;             t->right = delete(t->right, t->item);         }     }     return t; } void print_tree(link t) {     if (t)     {         printf("(");         printf("%d", t->item);         print_tree(t->left);         print_tree(t->right);         printf(")");     }     else         printf("()"); }

 C++ Code 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56

/*************************************************************************     > File Name: main2.c     > Author: Simba     > Mail: [e-mail]     > Created Time: Sat 29 Dec 2012 06:22:57 PM CST  ************************************************************************/ #include<stdio.h> #include<stdlib.h> #include<time.h> #include "binarysearchtree.h" #define RANGE 100 #define N 6 void print_item(link p) {     printf("%d", p->item); } int main(void) {     int i, key;     link root = NULL;     srand(time(NULL));     for (i = 0; i < N; i++)     {         root = insert(root, rand() % RANGE); /* 第一次循環root從NULL變成根節點值，接下去                                                 的循環雖然迭代root，但在插入節點過程中root的值始終不變 */         printf("root = 0x%x\n", (unsigned int)root);     }     printf("\t\\tree");     print_tree(root);     printf("\n\n");     while (root)     {         key = rand() % RANGE;         if (search(root, key))         {             printf("delete %d in tree\n", key);             root = delete(root, key); /* root雖然迭代，但返回的仍是先前的值，即根節點的值保持不變                                          直到全部節點被刪除，root變成NULL即0x0 */             printf("root = 0x%x\n", (unsigned int)root);             printf("\t\\tree");             print_tree(root); /* 傳遞給函數的一直是根節點的值，直到樹清空，root變成NULL */             printf("\n\n");         }     }     return 0; }

輸出為：

如果我們使用了The Tree Preprocessor，可以將以括號展示的排序二叉樹轉換成樹形展示，如下圖

以前此工具可以在 http://www.essex.ac.uk/linguistics/clmt/latex4ling/trees/tree/ 下載，現已找不到鏈接，我將其上傳到csdn，需要的可以去下載。

http://download.csdn.net/detail/simba888888/5334093

最后提一下，我們希望構建出來的二叉排序樹是比較平衡的，即其深度與完全二叉樹相同，那么查找的時間復雜度研究度O(logn)，近似於折半查找，

但如果出現構造的樹嚴重不平衡，如完全是左斜樹或者右斜樹，那么查找時間復雜度為O(n)，近似於順序查找。那如何讓二叉排序樹平衡呢？

事實上還有一種平衡二叉樹（AVL樹），也是一種二叉排序樹，其中每個結點的左子樹和右子樹的高度差至多等於1。

補充：delete() 在《data structure and algorithm analysis in c》 中的實現，個人覺得比較清晰，也挺好理解的，如下：

 

 C++ Code 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43

link FindMin(link T) {      if (T != NULL)         while (T->left != NULL)             T = T->left;     return T; } link delete(unsigned char X, link T) {     link tmp;     if (T == NULL)     {         printf("Tree is empty!\n");         return NULL;     }     if (X < T->key) //go left         T->left = delete(X, T->left);     else if (X > T->key) // go right         T->right = delete(X, T->right);     /* found elem to be deleted*/     else if (T->left && T->right) //have two children     {         // replace with smallest in right subtree         tmp = FindMin(T->right);         T->key = tmp->key;         T->right = delete(T->key, T->right);     }     else //one or zero children     {         tmp = T;         if (T->left == NULL)             T = T->right;         else if (T->right == NULL)             T = T->left;         free(tmp);     }     return T; }

參考：

《大話數據結構》

《linux c 編程一站式學習》

《Data Structures》