查找（二）——基於二叉排序樹的查找

　　　　導論：首先，沿着二分查找的思路，我們構造一種二叉樹來查找，這種二叉樹的左子樹結點都小於根節點，右子樹節點都大於根節點，這樣一來，所有結點算是都排好序了，接下來就可以查找

 

基於二叉排序樹的查找

 

一.二叉排序樹的定義

所謂二叉排序樹是一個什么樣的東西，我們得弄清楚，以下是二叉排序樹的定義：

　　1.若它的左子樹非空，則左子樹上所有節點的值都小於根節點的值

　　2.若它的右子樹非空，則右子樹上所有結點的值都大於根節點的值

　　3.它的左子樹和右子樹也是一顆二叉排序樹

 

　　有了定義，很多東西就都會顯而易見了：

　　1.二叉排序樹並不是一顆完全二叉樹

　　2.和二叉判定樹的對比：二叉判定樹是一種特殊的二叉排序樹，二叉判定樹多了一個限定條件：左右子樹的節點數目相差最多不能超過1個（小雨或等於1）

      3.二叉排序樹又名二叉查找樹

　　　

　　好了，到這里給出二叉排序樹的定義

　　

typedef struct  _TreeNode
{
	struct _TreeNode *leftNode;
	struct _TreeNode *rightNode;
	TypeData data;
}TreeNode,*TreeRoot;

　　

 

 

 

二.二叉排序樹的插入

　　和堆的建立和維護類似，我們首先想解決的一個問題就是：已經有了一顆二叉排序樹，怎樣做到將一個值插入正確的位置，

　　給出二叉樹的插入定義

　　

TreeNode* Insert_Tree(TreeRoot &root,TypeData key)
{
	if (!root)
	{
		TreeNode *node=new TreeNode;
		node->data=key;
		node->leftNode=nullptr;
		node->rightNode=nullptr;
		root=node;
		return root;
	}
	else if (root->data==key)
	{
		return root;
	}
	else if (root->data<key)
	{
		return (Insert_Tree(root->rightNode,key));
	}
	else if (root->data>key)
	{
		return(Insert_Tree(root->leftNode,key));
	}

}

　　

這里是用遞歸實現的二叉排序樹的插入，要注意以下幾點：

 

　　　　遞歸開始返回的終結點有兩個：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　1.當根節點為null時

　　　　　　　　　　　　　　　　　　2.根節點的data值和key相等，這個時候就不需要插入了

　　　　插入完畢返回插入位置的結點

 

三.二叉排序樹的建立

　　　　所謂二叉排序樹的建立，也就是通過向一個空節點不斷地插入結點來建立一顆二叉排序樹，通過遞歸地插入，可得

void Create_Tree(TreeRoot& root)
{
	TypeData key;
	while (std::cin>>key)
	{
		Insert_Tree(root,key);
	}
}

　　

四.通過二叉排序樹進行查找

　　　　這里，有兩種方式，遞歸和非遞歸的

　　　　首先是遞歸的

TreeNode *find_InTree(TreeRoot root,TypeData key)
{
	if (root)
	{
		if (root->data==key)
		{
			return root;
		}
		else if (root->data>key)
		{
			return find_InTree(root->leftNode,key);
		}
		else
		{
			return find_InTree(root->rightNode,key);
		}
	}
	return nullptr;
}

　　然后是非遞歸的，用while循環代替遞歸達到遞歸的作用

TreeNode *find_InTree2(TreeRoot root,TypeData key)
{
	TreeNode* p=root;
	while (p)
	{
		if (p->data==key)
		{
			return p;
			break;
		}
		else if (p->data>key)
		{
			p=p->leftNode;
		}
		else
		{
			p=p->rightNode;
		}
	}
	return nullptr;
}

　　

 

 

最后，簡單地分析一下查找的時間復雜度吧！

　　　　二叉排序樹的插入過程：很明顯，二叉排序樹過程最好情況是O(log2(n))，最差情況是O(n)，最差的情況時：二叉樹變為一顆只有左子樹或者只有右子樹的二叉樹，整個插入過程也退化成為順序插入

　　　　二叉排序樹的創建過程：很明顯，假設有n個數，建立二叉排序樹就要while循環n次插入過程，也就是說創建過程為O(nlog2(n))~O(n²)之間

　　　　二叉排序樹的查找過程：很明顯，基於二叉排序樹的查找過程和二叉排序樹的插入過程類似，時間復雜度也為O(log2(n))到O(n)之間

 

最后，程序執行過程使這樣的：

 

排序二叉樹的創建過程；

排序二叉樹的查找過程；

這樣看來，整個過程的時間復雜度為O(nlog2(n)到O(n²))之間，但是實際上表述的時候我們通常忽略創建過程，只考慮二叉樹的查找過程，這樣看來的話，整個過程的時間復雜度為O(log2(n))到O(n)之間