二叉搜索樹（二叉查找樹，二叉排序樹）

參考博客：

http://www.cppblog.com/cxiaojia/archive/2012/08/09/186752.html

百度百科

二叉查找樹（BST）是二叉樹的一個重要的應用，它在二叉樹的基礎上加上了這樣的一個性質：對於樹中的每一個節點來說，如果有左兒子的話，它的左兒子的值一定小於它本身的值，如果有右兒子的話，它的右兒子的值一定大於它本身的值。

二叉查找樹的操作一般有插入、刪除和查找，這幾個操作的平均時間復雜度都為O(logn)，插入和查找操作很簡單，刪除操作會復雜一點，除此之外，因為二叉樹的中序遍歷是一個有序序列，我就額外加上了一個中序遍歷操作。

二叉查找樹的應用不是很多，因為它最壞的時候跟線性表差不多，大部分會應用到它的升級版，平衡二叉樹和紅黑樹，這兩棵樹都能把時間復雜度穩定在O(logn)左右。雖然不會用到，但是二叉查找樹是一定要學好的，畢竟它是平衡二叉樹和紅黑樹的基礎。

接下來一步一步寫一個二叉查找樹模板。

第一步：節點信息

二叉查找樹的節點和二叉樹的節點大部分是一樣的，不同的是，二叉查找樹多了一個值出現的次數。如圖1顯示了二叉查找樹的節點信息。

//二叉查找樹節點信息
template<class T>
class TreeNode
{
    public:
        TreeNode():lson(NULL),rson(NULL),freq(1){}//初始化
        T data;//值
        unsigned int freq;//頻率
        TreeNode* lson;//指向左兒子的坐標
        TreeNode* rson;//指向右兒子的坐標
};

第二步：二叉查找樹類的聲明

//二叉查找樹類的屬性和方法聲明
template<class T>
class BST
{
    private:
        TreeNode<T>* root;//根節點
        void insertpri(TreeNode<T>* &node,T x);//插入
        TreeNode<T>* findpri(TreeNode<T>* node,T x);//查找
        void insubtree(TreeNode<T>* node);//中序遍歷
        void Deletepri(TreeNode<T>* &node,T x);//刪除
    public:
        BST():root(NULL){}
        void insert(T x);//插入接口
        TreeNode<T>* find(T x);//查找接口
        void Delete(T x);//刪除接口
        void traversal();//遍歷接口
 
};

第三步：插入

根據二叉查找樹的性質，插入一個節點的時候，如果根節點為空，就此節點作為根節點，如果根節點不為空，就要先和根節點比較，如果比根節點的值小，就插入到根節點的左子樹中，如果比根節點的值大就插入到根節點的右子樹中，如此遞歸下去，找到插入的位置。重復節點的插入用值域中的freq標記。如圖2是一個插入的過程。

二叉查找樹的時間復雜度要看這棵樹的形態，如果比較接近一一棵完全二叉樹，那么時間復雜度在O(logn)左右，如果遇到如圖3這樣的二叉樹的話，那么時間復雜度就會恢復到線性的O(n)了。

平衡二叉樹會很好的解決如圖3這種情況。

插入函數的代碼如下：

//插入
template<class T>
void BST<T>::insertpri(TreeNode<T>* &node,T x)//這里的“引用”很關鍵
{
    if(node==NULL)//如果節點為空,就在此節點處加入x信息
    {
        node=new TreeNode<T>();
        node->data=x;
        return;
    }
    if(node->data>x)//如果x小於節點的值,就繼續在節點的左子樹中插入x
    {
        insertpri(node->lson,x);
    }
    else if(node->data<x)//如果x大於節點的值,就繼續在節點的右子樹中插入x
    {
        insertpri(node->rson,x);
    }
    else ++(node->freq);//如果相等,就把頻率加1
}
//插入接口
template<class T>
void BST<T>::insert(T x)
{
    insertpri(root,x);
}

第四步：查找

查找的功能和插入差不多一樣，按照插入那樣的方式遞歸下去，如果找到了，就返回這個節點的地址，如果沒有找到，就返回NULL。

代碼如下：

//查找
template<class T>
TreeNode<T>* BST<T>::findpri(TreeNode<T>* node,T x)
{
    if(node==NULL)//如果節點為空說明沒找到,返回NULL
    {
        return NULL;
    }
    if(node->data>x)//如果x小於節點的值,就繼續在節點的左子樹中查找x
    {
        return findpri(node->lson,x);
    }
    else if(node->data<x)//如果x大於節點的值,就繼續在節點的左子樹中查找x
    {
        return findpri(node->rson,x);
    }
    else return node;//如果相等,就找到了此節點
}
//查找接口
template<class T>
TreeNode<T>* BST<T>::find(T x)
{
    return findpri(root,x);
}

 

第五步：刪除

刪除會麻煩一點，如果是葉子節點的話，直接刪除就可以了。如果只有一個孩子的話，就讓它的父親指向它的兒子，然后刪除這個節點。圖4顯示了一棵初始樹和4節點被刪除后的結果。先用一個臨時指針指向4節點，再讓4節點的地址指向它的孩子，這個時候2節點的右兒子就變成了3節點，最后刪除臨時節點指向的空間，也就是4節點。

 

    刪除有兩個兒子的節點會比較復雜一些。一般的刪除策略是用其右子樹最小的數據代替該節點的數據並遞歸的刪除掉右子樹中最小數據的節點。因為右子樹中數據最小的節點肯定沒有左兒子，所以刪除的時候容易一些。圖5顯示了一棵初始樹和2節點被刪除后的結果。首先在2節點的右子樹中找到最小的節點3，然后把3的數據賦值給2節點，這個時候2節點的數據變為3，然后的工作就是刪除右子樹中的3節點了，采用遞歸刪除。

    我們發現對2節點右子樹的查找進行了兩遍，第一遍找到最小節點並賦值，第二遍刪除這個最小的節點，這樣的效率並不是很高。你能不能寫出只查找一次就可以實現賦值和刪除兩個功能的函數呢？

    如果刪除的次數不是很多的話，有一種刪除的方法會比較快一點，名字叫懶惰刪除法：當一個元素要被刪除時，它仍留在樹中，只是多了一個刪除的標記。這種方法的優點是刪除那一步的時間開銷就可以避免了，如果重新插入刪除的節點的話，插入時也避免了分配空間的時間開銷。缺點是樹的深度會增加，查找的時間復雜度會增加，插入的時間可能會增加。

刪除函數代碼如下：

//刪除
template<class T>
void BST<T>::Deletepri(TreeNode<T>* &node,T x)
{
    if(node==NULL) return ;//沒有找到值是x的節點
    if(x < node->data)
    Deletepri(node->lson,x);//如果x小於節點的值,就繼續在節點的左子樹中刪除x
    else if(x > node->data)
    Deletepri(node->rson,x);//如果x大於節點的值,就繼續在節點的右子樹中刪除x
    else//如果相等,此節點就是要刪除的節點
    {
        if(node->lson&&node->rson)//此節點有兩個兒子
        {
            TreeNode<T>* temp=node->rson;//temp指向節點的右兒子
            while(temp->lson!=NULL) temp=temp->lson;//找到右子樹中值最小的節點
            //把右子樹中最小節點的值賦值給本節點
            node->data=temp->data;
            node->freq=temp->freq;
            Deletepri(node->rson,temp->data);//刪除右子樹中最小值的節點
        }
        else//此節點有1個或0個兒子
        {
            TreeNode<T>* temp=node;
            if(node->lson==NULL)//有右兒子或者沒有兒子
            node=node->rson;
            else if(node->rson==NULL)//有左兒子
            node=node->lson;
            delete(temp);
        }
    }
    return;
}
//刪除接口
template<class T>
void BST<T>::Delete(T x)
{
    Deletepri(root,x);
}

第六步：中序遍歷

遍歷的方法和二叉樹的方法一樣，寫這個方法的目的呢，是輸出這個二叉查找樹的有序序列。

代碼如下：

//中序遍歷函數
template<class T>
void BST<T>::insubtree(TreeNode<T>* node)
{
    if(node==NULL) return;
    insubtree(node->lson);//先遍歷左子樹
    cout<<node->data<<" ";//輸出根節點
    insubtree(node->rson);//再遍歷右子樹
}
//中序遍歷接口
template<class T>
void BST<T>::traversal()
{
    insubtree(root);
}