前綴和

前綴和是一種重要的預處理，能大大降低查詢的時間復雜度。

最簡單的一道題就是給定 n 個數和 m 次詢問，每次詢問一段區間的和。求一個 O(n + m) 的做法。

 

用 O(n) 前綴和預處理，O(m) 詢問。

主要代碼

for(int i = 1; i <= n; ++i) sum[i] = sum[i - 1] + a[i];　　//O(n)
while(m--)　　　　　　　　//O(m)
{
    int L, R; scanf("%d%d", &L, &R);
    printf("%d\n", sum[R] - sum[L - 1]);
}

 

升級版

給定一個n*n的矩陣，找一個最大的子矩陣，使得這個子矩陣里面的元素和最大。

這道題最朴素的算法是 O(n ^ 6),用二維前綴和可以降到 O(n ^ 4)。

再想想前綴和矩陣怎么生成？看個圖就明白了：

那么最大的矩形前綴和就等於藍的矩陣加上綠的矩陣，再減去重疊面積，最后加上小方塊，即

sum[i][j] = sum[i][j - 1] + sum[i - 1][j] - sum[i - 1][j - 1] + a[i][j]

主要代碼

for(int i = 1; i <= n; ++i)
    for(int j = 1; j <= n; ++j)
        sum[i][j] = sum[i - 1][j] + sum[i - 1][j] - sum[i - 1][j - 1] + a[i][j];
for(int i = 1; i <= n; ++i)        //枚舉矩陣左右端點 
    for(int j= 1; j <= n; ++j)
        for(int k = i; K <= n; ++k)
            for(int h = j; h <= n; ++h)
            {
                tot = sum[k][h] - sum[i - 1][h] - sum[k][j - 1] + sum[i - 1][j - 1];　　//同理矩陣生成 10                 ans = max(ans, tot);
            }

不過這道題還有另一種方法，可達到 O(n ^ 3)，不過思路就和二維前綴和有些差別了。

為了更好理解，先降維做道題。

給定一個數字序列，求最大區間和。

 其實這道題使用貪心的思想。因為 sum[L, R] = sum[R] - sum[L - 1]，所以只要在枚舉 R 的同時，一直取最小的 sum[L - 1]，然后嘗試着更新 ans。

這個代碼實現有很多種方法，以下給出兩種，都很好理解

第一種

for(int R = 1; R <= n; ++R)  //已知s[R]，找最小的s[L-1]
{
  MIN = min(MIN, s[R - 1]);    //就是求 sum[L] 
  ans = max(ans, s[R] - MIN);
}

第二種

for(int i = 1; i <= n; ++i)
{
  sum += a[i];
  if (sum < 0) sum = 0;    //若小於0，就重新計數 
  ans = max(ans, sum);
}

掌握了這兩種方法，就可以解矩陣這道題了

只要枚舉矩陣的上下邊。

這里面的矩陣就可以延 i 到 j 的方向將維，再用上述思想更新答案

矩陣2減去矩陣1就得到矩陣3，然后將矩陣3降維。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 4e2 + 5;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int n, ans = -INF;
int a[maxn][maxn], f[maxn][maxn];     //f[i][j]關於第j列到第i行的列前綴和 
void init(const int& n)
{
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
         for(int j = 1; j <= n; ++j)
             f[i][j] = f[i - 1][j] + a[i][j];    //求一列的和 
}
int b[maxn], sum[maxn]; //降維后的數組 
int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        for(int j = 1; j <= n; ++j)
            scanf("%d", &a[i][j]);
    init(n);
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        for(int j = i; j <= n; ++j)
        {
            for(int k = 1; k <= n; ++k) b[k] = f[j][k] - f[i - 1][k];    //降維    
            for(int k = 1; k <= n; ++k) sum[k] = sum[k - 1] + b[k];        //求一維前綴和 
            int Min = INF; 
            for(int k = 1; k <= n; ++k)
            {
                Min = min(Min, sum[k - 1]);
                ans = max(ans, sum[k] - Min);
            }
        }
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

總而言之，前綴和雖然大多數用來預處理，但要是出關於它的題也能出的很難。