前綴和算法

（一）前綴和算法

概念：前綴和就是數組的前i項之和

一維前綴和

s[1]=a[1]

s[2]=a[1]+a[2]

s[3]=a[1]+a[2]+a[3]

s[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]

s[5]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]

①.前綴和

輸入一個長度為n的整數序列。

接下來再輸入m個詢問，每個詢問輸入一對l, r。

對於每個詢問，輸出原序列中從第l個數到第r個數的和。

輸入格式

第一行包含兩個整數n和m。

第二行包含n個整數，表示整數數列。

接下來m行，每行包含兩個整數l和r，表示一個詢問的區間范圍。

輸出格式

共m行，每行輸出一個詢問的結果。

數據范圍

1≤l≤r≤n,
1≤n,m≤100000,
−1000≤數列中元素的值≤1000

輸入樣例：

5 3 2 1 3 6 4 1 2 1 3 2 4 

輸出樣例：

3 6 10

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
    int sum,n,i,j,x,m,l,r;
    int s[100009];
    cin>>n>>m;
    sum=0;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>x;
        sum+=x;
        s[i]=sum;
    }
    for(i=0;i<m;i++)
    {
        cin>>l>>r;
        cout<<s[r]-s[l-1]<<endl;
    }
    return 0;
}

在做題中我們會經常用到他的二維的前綴和數組

最常見的案例：求子矩陣的和

2.子矩陣的和

輸入一個n行m列的整數矩陣，再輸入q個詢問，每個詢問包含四個整數x1, y1, x2, y2，表示一個子矩陣的左上角坐標和右下角坐標。

對於每個詢問輸出子矩陣中所有數的和。

輸入格式

第一行包含三個整數n，m，q。

接下來n行，每行包含m個整數，表示整數矩陣。

接下來q行，每行包含四個整數x1, y1, x2, y2，表示一組詢問。

輸出格式

共q行，每行輸出一個詢問的結果。

數據范圍

1≤n,m≤1000,
1≤q≤200000,
1≤x1≤x2≤n,
1≤y1≤y2≤m,
−1000≤矩陣內元素的值≤1000

輸入樣例：

3 4 3 1 7 2 4 3 6 2 8 2 1 2 3 1 1 2 2 2 1 3 4 1 3 3 4 

輸出樣例：

17 27 21

對於二維前綴和問題，首先我們先求出他的前綴和數組，如何求呢？
對於（i,j）該點的前綴和數組求解：看圖，求紅色部分的前綴和

 

 就可以看成是藍色前綴和+粉色前綴和-黃色前綴和+自己本身

s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+a[i][j]

 

 求完前綴和數組后，在分析一下如果要求兩個點之間的子矩陣的和應該怎么辦？

再畫圖分析一下：

 

 求解兩個圓圈之間的子矩陣：黃色面積-藍色面積-紫色面積+粉色面積

ans=s[x2][y2]-s[x1-1][y2]-s[x2][y1-1]+s[x1-1][y1-1]

代碼：

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int n,m,q,x1,x2,y1,y2;
int s[1010][1010],a[1010][1010];
int main()
{
    int i,j;
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        for(j=1;j<=m;j++)
        {
            scanf("%d",&a[i][j]);
            s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+a[i][j];
        }
    }
    while(q--)
    {
        scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2);
        printf("%d\n",s[x2][y2]-s[x2][y1-1]-s[x1-1][y2]+s[x1-1][y1-1]);
    }
    return 0;
}