前綴和（preSum）算法

一維數組求區間和：

 

preSum 方法能快速計算指定區間段 【i，j】的元素之和。它的計算方法是從左向右遍歷數組，當遍歷到數組的i位置時，preSum 表示 i 位置左邊的元素之和。

 

 

 推導過程引用自：https://leetcode-cn.com/problems/range-sum-query-immutable/solution/jian-dan-wen-ti-xi-zhi-fen-xi-qian-tan-q-t2nz/

 

 

算法思路：

1.設原數組nums大小為N，定義一個大小為N+1的數組preum，preSum[i] 表示該元素左邊所有元素之和（不包含 i 元素）。遍歷原數組，利用 preSum[i + 1] = nums[i] + preSum[i]

   每次對nums數組的[0,j)范圍求和，賦值給presum[i]。

2.利用  sum(i, j) = preSum[j + 1] - preSum[i] 快速求區間和。

 

定義N+1大小的presum數組是因為，可以方便地求區間和，不需要對i=0的特殊情況進行處理。

 

構造時時間復雜度和空間復雜度都是O（n），查詢O（n）。

 

 

class NumArray {

public:

    vector<int> presum;

    NumArray(vector<int>& nums)

　 {

        int N = size(nums);

        presum.resize(N+1);

        for(int i = 0;i<N;i++)

        {

             presum[i+1] = presum[i] +nums[i];

        }

    }

    

    int sumRange(int i, int j) {

        return presum[j+1] - presum[i];

    }

};

參考：https://leetcode-cn.com/problems/range-sum-query-immutable/solution/presum-qian-zhui-he-xiang-xi-jiang-jie-b-nh23/

 

二維矩陣版：

 

同樣的思路，不同的是

1.presum數組的推導方式，利用：

  preSum[i+1][j+1] = preSum[i][j+1]+preSum[i+1][j]−preSum[i][j]+matrix[i][j]

2.求任意子矩陣的和：

sum([row1,col1]~[row2,col2])  = preSum[row2+1][col2+1]−preSum[row2+1][col1]−preSum[row1][col2+1]+preSum[row1][col1]

同樣利用了  加一  的方法避免對特殊情況進行處理。