不可解問題之停機問題（Undecidable Problem Halting Problem）

計算機技術已運用到人類生活的方方面面，幫助人類解決各種問題。可你是否有想過，計算機是否能為人類解決所有問題呢？

 

假如你是一個程序猿，你已編寫過很多程序。有些程序一下子就能出結果，有些程序則好久都沒有顯示結果。你不知道這些程序到底最終是否會顯示結果。你突然靈光一現---“能不能設計一個程序，用於檢測任意程序最終會停止運行還是會無限運行下去”。這樣，你就不用為了得到程序的結果而等很久，有時甚至還無法確定到底是不是程序本身出現了問題，導致程序無限循環。

 

說干就干，你為這一想法設計的思路如下：

定義一個all_mighty_program，其輸入參數是需測試的程序本身和其輸入

如果該程序最終停止運行，返回True

如果該程序最終無法停止運行，則返回False

 

然后你根據此寫了一段偽代碼（pseudocode）：

def all_mighty_program (code, code_input):

    if code (code_input) halts:

        return True

    else:

        return False

 

那么有沒有什么測試程序能使上面的這段偽代碼失效呢？為此，你需要進行反證。

 

首先，需測試的程序有兩種可能性：

1，該程序最終會返回某值

2，該程序會無限循環下去

 

對於第一種可能性：在某個條件下，該程序最終會返回某值，也就是說該程序最終會停止運行。

需要把這個條件設計成與上面的偽代碼相反。既然上面的偽代碼是測試程序最終停止運行返回True，那么把條件設計成：當上面的偽代碼返回False時，測試程序最終會停止。

 

同樣，對於第二種可能性：在某個條件下，該程序會無限循環下去，也就是說該程序最終會無限運行下去。

需要把這個條件設計成與上面的偽代碼相反。既然上面的偽代碼是測試程序最終無法停止運行返回False，那么把條件設計成：當上面的偽代碼返回True時，測試程序最終會無限循環下去。

 

寫成偽代碼如下：

def code (code_input):

    if all_mighty_program (code, code_input) is False:

        return True

    else:

        loop forever

 

由此可以看出，這兩段偽代碼的邏輯是矛盾的。當all_mighty_program (code, code_input)是False時（也就是code會無限循環下去時），code (code_input)是返回True值的（也就是code最終會停止運行）。

 

停機問題（Halting Probelm）是決定任意程序最終是會停止運行還是會無限運行下去的問題。

Alan Turing在1963年就證明，沒有這樣一個通用的算法存在，此算法在所有可能的輸入參數下可以解決停機問題。