不可解問題—停機問題證明

圖靈在1936年就指出，圖靈機並不是什么都能計算。最著名的例子就是停機問題，即沒有計算機能通過查看一段代碼就知道自己是會永遠執行下去還是會最終停止。——摘自《可能與不可能的邊界：P/NP問題趣史》

前言

　　我們都見過計算機屏幕上出現一個代表忙碌的小沙漏，不知道這是代表計算機死機了，還是在進行長時間的計算。用戶該馬上重啟機器呢，還是再等一會兒？如果能有一個算法，告訴我們計算機是不是陷入了某種無窮循環該有多好！那是很好，但那也是不可能的。——摘自《可能與不可能的邊界:P/NP問題趣史》

概念

　　不可解問題(Undecidable Decision Problem)指的是這樣一種問題：它無論如何也不可能有一個正確的算法來解決。雖然不可思議，但這種問題被證明確實是存在的。圖靈在1936年提出了第一個不可解問題的實例：停機問題（The Halting Problem）。

　　停機問題（The Halting Problem）是問，輸入一段程序代碼和一個針對此程序的輸入，能否編程判斷運行這個程序后程序是否會終止。
　　這個問題的答案是否定的。也就是說，不可能有一種算法可以正確判斷一個指定的程序運行后，給予指定的輸入，程序最后出不出得來。換句話說，停機問題（The Halting Problem）是一個不可解問題。

停機問題的直觀解釋

　　不可能設計這樣一個萬能程序，它能判定一切程序（包括它自己）會不會死循環。

證明

 　　證明過程非常簡單，假設The Halting Problem是有解的，並且已經用程序實現了，那么我們只需要再編寫一個程序Program Bug，就會發現存在矛盾。

　　反證：既然解決The Halting Problem的算法已經實現了，那么我們一定能定義一個函數

Function Halting(a,b:input_type):boolean;

　　其中，a是讀入的程序源碼，b是輸入數據。這個函數的功能就是返回對於指定的程序源碼和輸入數據，程序是否能順利退出。等價為“輸入一段代碼A和一個針對A的輸入a，能否編程B判斷A（a）是否是死循環”。
　　下面編寫一個程序：

Program Bug;
var
    code:input_type;
begin
   get(code);   //讀入code
   if halting(code,code) then repeat until false
      else halt;
end.

　　現在運行Bug這個程序，並且輸入Bug這個程序本身的代碼。這樣，halting(code,code)其實質就是在判斷這個Bug程序本身了。如果The Halting Problem認為Bug程序會正常退出，那么就讓程序進入一個死循環，否則立即退出程序。矛盾產生。

造一個圖靈機D  描述 
       “永遠的在野派”   它 “反對 一切 當權派”
這個D 總與 當局唱 對台戲，
     它自己當權時, 自己也反對自己， 引起矛盾

圖靈停機問題

問題：能不能設計一個程序P，判斷出任意一個程序X是否會在輸入Y的情況下陷入死循環？

設P(X,Y)表示P判斷程序X在輸入為Y時的結果。如果X存在死循環，那么P(X,Y)就輸出一個yes。如果X不存在死循環，那么P(X,Y)就輸出一個no。這樣的P(X,Y)存在嗎？

某個程序X在輸入Y上停機，就是說X不存在着死循環；

如果不停機就是存在着死循環。

假設程序P存在。那么我們可以根據P設計一個新的程序Q如下，其中X是任何一段程序的編碼：

Program Q(X){
    m=P(X,X)
    do while(m==no)//m=no意味着X不存在死循環
    ……
    ……
    enddo
    if m==yes then return;//m=yes意味着X不存在死循環
}

輸入任何一段程序X，調用函數P(X,X)並得到返回值m，如果m=no，意味着P判斷出程序X作用到X自身不存在死循環。那么Q就不停的做do while和enddo之間的語句。如果m=yes，表示P判斷出程序X在以X為輸入時存在死循環，此時，函數Q運行結束。

問Q這個程序作用到Q自身的編碼上也就是Q(Q)會不會死循環呢？

假設Q(Q)會發生死循環，那么P(Q,Q)就會返回yes.也就是m=yes，因此Q函數馬上結束，也就是程序Q(Q)沒有發生死循環。→矛盾！ 假設Q(Q)不發生死循環，那么P(Q,Q)應該返回no，也就是m=no，這樣程序就會進入do while循環，而這個循環顯然是一個死循環。因而Q(Q)發生了死循環。→矛盾！

無論Q(Q)會不會發生死循環，都會產生矛盾。

假設P(X,Y)能夠判斷任意程序X在輸入Y的時候是否死循環是錯誤的。也就是說這樣的程序P(X,Y)不存在。

停機問題與停機定理

停機問題：任給圖靈機程序P和一組輸入數據I，是否存在單個程序，接受P和I作為其輸入，並在有限步后停機，並在帶上的最后做出說明，P在處理I時是否將在有限步后停止？

停機定理（1936）：給定一任意的圖靈機程序P和一組任意的輸入數據I，不存在單個的圖靈機程序，它在有限多步后停機，並告訴我們P是否結束輸入數據I的處理。

證明：反證假設，存在這樣一個圖靈機TM(P,I)，它可以判定程序P在輸入I的情況下是否可停機：若P在輸入I時可停機，TM(P,I)輸出“停機”，否則，TM(P,I)輸出“死循環”。

　　顯然，TM(P,I)本身可被視程序P_TM，也可作為輸入I_TM，故TM(P,I)可以判定當將I_TM作為P_TM的輸入時，P_TM是否會停機。

　　現考慮一個與TM(P,I)相反的圖靈機TM-bar(P,I):首先，它調用TM(P_TM,I_TM)。若TM(P_TM,I_TM)輸出“死循環”，則輸出“停機”，否則輸出“死循環”。

　　再考慮運行TM(P_TM-bar,I_TM-bar)時的情形。若TM(P_TM-bar,I_TM-bar)輸出“停機”，則它輸出“死循環”若TM(P_TM-bar,I_TM-bar)輸出“死循環”，則它輸出“停機”。總產生矛盾。

哥德爾定理和停機定理之間有什么關系？

　　參考：康托爾、哥德爾、圖靈——永恆的金色對角線

參考文獻：

https://wenku.baidu.com/view/ad82e57b31b765ce05081490.html?sxts=1540116131874

http://www.matrix67.com/blog/archives/55