貪婪算法硬幣找零最優解問題證明

1. 問題

如果硬幣的面值是c⁰, c¹, …, c^k,則貪婪算法總是用最少的硬幣找零

 

2. 證明

2.1 一個硬幣的找零方式可以用如下公式來表示

m₀c₀ + m₁c₁ + … + m_kc_k = S

m_i = 每種面值的硬幣的數量(0, x)

c_i = 硬幣的面值

根據題意 S = m₀c⁰ + m₁c¹ + … + m_kc^k

 

2.2 正面證明沒有合適的公式推導，因為貪婪算法沒有合適的公式表達，嘗試反證

假設有一種非貪婪算法的最優找零方案 S1 = m₀c⁰ + m₁c¹ + … + m_kc^k

貪婪算法的找零方案 S2 = n₀c⁰ + n₁c¹ + … + n_kc^k

假設從k開始，到x(x <= k)對應的面值的硬幣時，m_x != n_x

∵貪婪算法每次都講盡可能的使用最大面值的硬幣找零，所以n_x > m_x (因為S2的找零方案不同於S1，所以一定會有這么一個x滿足條件)

我們考慮最小情況，n_x - m_x = 1

1c^k = c⁰ + (c-1)c⁰ + (c-1)c¹ + … + (c-1)c^k-1 > (c-1)c⁰ + (c-1)c¹ + … + (c-1)c^k-1

∵S1的找零方案中，m(m < k)不可能大於或等於c（當m_x > c時，就可以將c個m_x換成更高位的面值了，這樣硬幣數會減少）

∵S1 = m₀c⁰ + m₁c¹ + … + m_kc^k-1 <= (c-1)c⁰ + (c-1)c¹ + … + (c-1)c^k-1 < 1c^k

∵S1中剩下的面值小於c^k的硬幣面值總和不會大於一個c^k的面值

∴ S1 != S2

∴ S1不存在，S2的貪婪算法是最優解

 

2.3 《離散數學及其應用》書中貪婪算法的反例

有面值1, 10, 25的硬幣，找零30。

貪婪算法的解：5c₀ + 0c₁ + 1c₂ =  5*1 + 0*10 + 1*25 = 30，共需6枚硬幣

而最優解是：0c₀ + 3c₁ + 0c₂ =  0*1 + 3*10 + 0*25 = 30，只需3枚硬幣

因為用3枚10面值的硬幣不能用任何25面值的硬幣和10面值的硬幣代替，所以換成高面值的硬幣不一定會使硬幣減少，所以2.2的證明無法在此應用

 

3. 擴展

從2.2的證明中可以看出，當貪婪算法是最優解時，只要c^x = n*c^x-1,2.2的證明同樣是成立的

所以硬幣的面值是k⁰c, k¹c, …, kⁿc時（如2， 10， 50）時，也是成立的