動態規划之硬幣找零問題

問題描述:

假設有幾種硬幣，並且數量無限。請找出能夠組成某個數目的找零所使用最少的硬幣數。例如幾種硬幣為[1, 3, 5], 面值2的最少硬幣數為2(1, 1), 面值4的最少硬幣數為2(1, 3), 面值11的最少硬幣數為3(5, 5, 1或者5, 3, 3).

問題分析:

假設不同的幾組硬幣為數組coin[0, ..., n-1]. 則求面值k的最少硬幣數count(k), 那么count函數和硬幣數組coin滿足這樣一個條件:

• count(k) = min(count(k - coin[0]), ..., count(k - coin[n - 1])) + 1; 
• 並且在符合條件k - coin[i] >= 0 && k - coin[i] < k的情況下, 前面的公式才成立.

因為k - coin[i] < k的緣故, 那么在求count(k)時, 必須滿足count(i)(i <- [0, k-1])已知, 所以這里又涉及到回溯的問題.

所以我們可以創建一個矩陣matrix[k + 1][coin.length + 1], 使matrix[0][j]全部初始化為0值, 而在matrix[i][coin.length]保存面值為i的最少硬幣數.

而且具體的過程如下:

    * k|coin  1   3   5   min
    * 0       0   0   0   0
    * 1       1   0   0   1
    * 2       2   0   0   2
    * 3       3   1   0   3, 1
    * 4       2   2   0   2, 2
    * 5       3   3   1   3, 3, 1
    * 6       2   2   2   2, 2, 2
    * ...

最后, 具體的Java代碼實現如下:

    public static int backTrackingCoin(int[] coins, int k) {//回溯法+動態規划
        if (coins == null || coins.length == 0 || k < 1) {
            return 0;
        }
        int[][] matrix = new int[k + 1][coins.length + 1];
        for (int i = 1; i <= k; i++) {
            for (int j = 0; j < coins.length; j++) {
                int preK = i - coins[j];
                if (preK > -1) {//只有在不小於0時, preK才能存在於數組matrix中, 才能夠進行回溯.
                    matrix[i][j] = matrix[preK][coins.length] + 1;//面值i在進行回溯
                    if (matrix[i][coins.length] == 0 || matrix[i][j] < matrix[i][coins.length]) {//如果當前的硬幣數目是最少的, 更新min列的最少硬幣數目
                        matrix[i][coins.length] = matrix[i][j];
                    }
                }
            }
        }
        return matrix[k][coins.length];
    }

 

代碼經過測試, 題目給出的測試用例全部通過!