[動態規划]最少硬幣問題

最少硬幣問題

http://acm.sdut.edu.cn/onlinejudge2/index.php/Home/Contest/contestproblem/cid/3016/pid/1725

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Problem Description

設有n種不同面值的硬幣，各硬幣的面值存於數組T[1:n]中。現要用這些面值的硬幣來找錢。可以使用的各種面值的硬幣個數存於數組Coins[1:n]中。
對任意錢數0≤m≤20001，設計一個用最少硬幣找錢m的方法。
對於給定的1≤n≤10，硬幣面值數組T和可以使用的各種面值的硬幣個數數組Coins，以及錢數m，0≤m≤20001，計算找錢m的最少硬幣數。

Input

輸入數據第一行中只有1個整數給出n的值,第2行起每行2個數，分別是T[j]和Coins[j]。最后1行是要找的錢數m。

Output

輸出數據只有一個整數，表示計算出的最少硬幣數。問題無解時輸出-1。

Sample Input

3
1 3
2 3
5 3
18

Sample Output

5

Hint

 

Source

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算法思路：

1. 這題采用"動態規划"算法，將大問題轉換為小問題，且一步步記錄上一步的結果。
2. 我們依舊使用一維數組來存儲計算結果，可以參考之前的一個"背包問題"的算法解讀：https://www.cnblogs.com/onetrainee/p/11672203.html

與"背包問題"的對比與分析：

1. “背包”中給出了"損失"與"收益"，但其都是對於單個物品，求最大收益;“硬幣”中給出的是"收益"、"個數"與"最終收益"，求最小組合。
2. 可以看出，如果對於"硬幣問題"，要采用動態規划的話，依照"一步步走的原則"，至少要進行拆分，比如 5 個 2，要拆分成 5 、5，先計算第一個5，之后再計算第二個5。

算法設計：

1. 依舊采用一維數組 "dp[目標面額]=最小需求個數" 來存儲最終結果。
2. 我們將所有硬幣依次拆分成單個，dp[目標面額] = min(dp[目標面額-當前面額]+1，dp[目標面額])，前一個是將該面額放入該組合中，后一個是不采用當前面額，選取數值最小的。

算法注意事項：

1. 前兩層循環是將面額拆分，注意邊界是否帶等號。
2. dp[k]數組初始化時，除k=0外所有數值設置為無窮大，因為當需求為0時，其組合數本來就為0種，如果這個也設置為無窮大，則無法計算了。

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源代碼：

 

// 算法.cpp : 此文件包含 "main" 函數。程序執行將在此處開始並結束。
//

#include "pch.h"
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;

int main() {

    int des, n, T[20001], Coin[20001]; 
    long long int dp[20001];
    memset(dp, INF, sizeof(dp));
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> T[i] >> Coin[i];
    }

    cin >> des;
    dp[0] = 0;

    // 算法注意邊界是否帶等號
    for (int i = 0; i < n; i++)
        for (int j = 1; j <= Coin[i]; j++)
            for (int k = des; k >= T[i]; k--)
                dp[k] = min(dp[k], dp[k - T[i]] + 1); 

    cout << (dp[des]<INF?dp[des]:-1) << endl;
}