貪婪算法硬幣找零最優解問題證明2

1. 問題

如果硬幣的面值是{1, 1*c, 2*c, …, k*c}， 則貪婪算法總是用最少的硬幣找零。

 

如《離散數學及其應用》書中貪婪算法的反例：

有面值1, 10, 25的硬幣，找零30。

貪婪算法的解：5c₀ + 0c₁ + 1c₂ =  5*1 + 0*10 + 1*25 = 30，共需6枚硬幣

而最優解是：0c₀ + 3c₁ + 0c₂ =  0*1 + 3*10 + 0*25 = 30，只需3枚硬幣

但如果補齊中間缺失的硬幣面值：{1, 5, 10, 15, 25},

那么貪婪算法的解是 ： 1*25 + 1*5 = 30，只需2枚硬幣，依然是最優解之一（因為還有15*2也是最優解）

 

2. 規律

因為最大的25面值的硬幣不再滿足《貪婪算法最優解問題》問題中的條件，所以無法用該證明方法證明，思路不通時我們先找找滿足問題條件的找零方案，看能不能找出一些規律，然后再證明這些規律找出一些推論來間接證明

假設有面值{1, 3, 6, 9}的硬幣，當需找零S的最優貪婪算法找零方案：

	1	3	6	9
9				1
10	1			1
11	2			1
12		1		1
13	1	1		1
14	2	1		1
15			1	1
16	1		1	1
17	2		1	1
18				2

 

從表中可以看出：

1> 除了最大面值和1面值的硬幣以外，其他面值的硬幣最多只有1個

2> 1面值的硬幣最多只有2個

 

3. 推論證明

3.1 除了最大面值和1面值的硬幣以外，其他面值的硬幣最多只有1個

最優找零公式：S = m₀1 + m₁1c + m₂2c + … + m_kkc

S = m₀1 + (m₁1 + m₂2 + … + m_kk)c = m₀1 + gc  = m₀ + gc (m₀ < c, g >= 0)

從公式中，我們可以自覺感受到S中，一定有m₀個面值為1的硬幣，但從嚴謹的數學邏輯出發，我們還是證明一下

 

3.2 假設最優找零公式 S = m₀ + gc (m₀ < c, g >= 0)，有另一種最優找零公式 S1 = x + hc (x < c, x != m₀, g >= 0)

m₀ + gc = x + hc

(m₀ - x) = (h-g)c 或(x -m₀) = (g-h)c （2個形式的證明都是一樣的）

∵x != m₀

∴(h-g)c != 0

∴(m₀ - x) = nc (n > 0)

∴m₀ = nc + x > c (n > 0)

∵m₀大於c時，一定可以將c個m₀轉化為一個面值為c的硬幣，轉化后的總數量必然小於m₀

∴m₀ = nc + x不成立，假設不成立

∴最優找零公式S中，一定有m₀個面值為1的硬幣

 

3.3 已知S中m₀數量固定，所以只要找出S = gc 的最優找零數量，即是S的最優找零方案，我們先嘗試找一找各種情況下的方案

S = gc = (m₁1 + m₂2 + … + m_kk)c

去掉c， g = m₁1 + m₂2 + … + m_kk

3.3.1 當g <= k時，g = x (x∈{1, 2, …, k})，用一枚面值x的硬幣即是最優解

3.3.2 當k< g <= 2k時，g = k + x (x∈{1, 2, …, k})，只需2枚硬幣即可，因為1枚硬幣最多只能表達到k的面值，而g > k，所以g = g = k + x即是最優解

3.3.3 當2k< g <= 3k時，g = 2k + x (x∈{1, 2, …, k})，只需3枚硬幣即可，因為用2枚硬幣最多只能表達到2k的面值，而g > 2k，所以g = 2k + x即是最優解

也就是說，對於任意一個g，總是可以表達為 g = nk + x 這種形式（如我們所有的數都可以用 (n10 + x)(0<= n, 0< x < 10)來表示），且這種形式的找零方案是最優的（使用n + 1枚硬幣）

 

3.4 證明，g = m₁1 + m₂2 + … + m_kk = nk + x (0 < x < k) 時，沒有一種其他的找零方案使用的硬幣數 <= n

反證，假設有一種找零方案g1 = m₁1 + m₂2 + … + m_kk，使用的硬幣數 <= n

∵n枚kc面值的的硬幣總數總是大於或等於n枚由{1c, 2c, …, kc}組成的硬幣總數

∴g1 <= nk < nk + x = g

∴g1 != g

∴不存在這一的找零方案g1

∴g = nk + x這樣的找零方案總是最優的

∴g總是用最大數量的k，和一枚其他數量的x去找零，這完全滿足貪婪算法的找零方案

∴S = gc 的最優找零數量是貪婪算法

∴S = m₀ + gc 的最優找零方案是貪婪算法