囚徒問題(100 prisoners problem)的python驗證

　　密碼學課上老師介紹了這樣一個問題，囚徒問題(100 prisoners problem)：一百個囚徒被關在牢房里，典獄長給他們最后一次機會，100人依次進入一個有100個抽屜的牢房，每個抽屜置亂放入1~100的號碼，每個人依次打開50個抽屜，如果每個人都能找到自己的號碼(0~100)，則所有人被釋放，反之所有人都會被殺死。

　　典型的算法給出的被釋放概率幾乎為零，但是有這樣一種方法：第i號囚徒打開第i號抽屜，如果這個抽屜放的是自己的號碼牌，ok pass，如果不是，則打開該抽屜中號碼牌對應的抽屜，依次進行，直到找到自己的號碼牌或者失敗。

　　那么，這個方法的成功率有多少呢。使用python模擬的代碼如下：

import random

flag = 0    # 單次實驗是否成功flag
counter = 0     # 實驗成功次數counter
fcounter = 0    # 單個囚徒打開抽屜次數fcounter
N = 10000   # 設置試驗次數
A = list(range(100))
random.shuffle(A)   # 抽屜置亂
for i in range(N):
    flag = 1
    # experiment begins
    for j in range(100):
        k = j
        while(A[k] != j and fcounter < 50):
            k = A[k]
            fcounter += 1
        if(fcounter >= 50):
            flag = 0
            fcounter = 0
            break
        fcounter = 0

    if(flag == 1):
        counter += 1
    flag = 0
    random.shuffle(A)
print('Success Rate: ' + str(counter/N))

　　最終的成功率是驚人的

Success Rate: 0.3117

　　這種方法的原理是什么呢，用置換的方法看，一次1~100置亂可以分解為若干個不相交的小循環。若所有小循環的階都小於50，則囚犯都可以找到自己的號牌。

　　 囚徒遇到大於五十階循環的概率如左所示，則囚徒們成功的概率達到了驚人的0.3118