動態規划解背包問題/C++/Knapsack problem

本文轉載自查看原文 2011-12-25 22:33 16317 算法和數據結構/ 算法/ dynamic programming/ 動態規划實例/ 動態規划

前言

背包問題是一個經典的算法問題，可以用動態規划，貪心法，分支界限法等方法解決

問題描述：有n個物品，編號1,2,3，、、n，其中第 i 個物品重量為Wi 價值 Vi ，有一個容量為W的背包。

在容量允許范圍內，如何選擇物品，可以得到最大的價值。（為了簡單起見，假設物品的重量 Wi 和價值Vi 都是正數）

根據取物品的方式，背包問題又可以被分為三類：

0/1背包問題(0-1 knapsack problem)

這也是最常見的背包問題，對於每個物品，要么取走要么不取走，每個物品只能取一次。

可以用數學表達式表示為：

maximize $\qquad \sum_{i=1}^n v_ix_i$
subject to $\qquad \sum_{i=1}^n w_ix_i \leqslant W, \quad \quad x_i \in \{0,1\}$

其中xi只能為1 或者0 所以稱為背包問題

有界限的背包問題(bounded knapsack problem)

對應於上文，每個物品最多可以取Gi次.也可以不取。用數學表達式描述為：

maximize $\qquad \sum_{i=1}^n v_ix_i$
subject to $\qquad \sum_{i=1}^n w_ix_i \leqslant W, \quad \quad x_i \in \{0,1,\ldots,c_i\}$

注意看xi取值范圍。其中的“界限”說的是取的次數上限

無界限背包( unbounded knapsack problem (UKP))

相應的，無界限背包說的就是每個物品取的次數無限了，也就是上文中的xi 可以為任意的正整數。

今天主要說的是0、1背包問題，解法是動態規划。當然，對於另外兩種問題也會有所介紹。

問題分析：

用動態規划解問題首先要有效的找出子問題，可以通過這個子問題得推得原問題的解，通常子問題的實質是和原問題相同的，只是規模上的縮小，

也就是說子問題和原問題可以有相同的表示形式，問題可通過不斷的縮小規模（一般都會有一個界限）能找到子問題的解。

這個問題要求解的是能用背包帶走的物品的最大價值。定義 m[i,w] 為：

用第1,、2、3、、i 個物品裝入質量<=W的背包的最大價值。

m[i,w]的取值情況分析：

1） $m[0,\,w]=0$ ，背包的質量為w，里面沒有物品，所以它的價值為0；

2） $m[i,\,0]=0$ ，背包質量為0，所以里面沒法裝任何東西，不論前面的 i 是多少，總價值為0；

對於任意的第 i 個物品，有兩種情況，放進背包或者不放。

不要第 i 個物品如果 $w_i > w\,\!$ 則：

3） $m[i,\,w]=m[i-1,\,w]$ 因為第i 個物品的重量大於背包的容量，所以不可放入。

如果 $w_i \leqslant w$ . 那么

4） $m[i,\,w]=\max(m[i-1,\,w],\,m[i-1,w-w_i]+v_i)$

對於第 i 個物品，有兩種可選擇方案：如果放入背包中，那么 m[i,w]=m[i-1,w-wi]+vi　也就是 i 的前一個的最大值加上自己的價值。

如果不要第 i 個物品，那么：m[i,w]=m[i-1,w]。也就是 i 的前一個的最大值。

因為背包問題最后要取得最大的價值，所以就選這兩種情況中價值最大的。

在這個問題中，定義子問題： m[i,w] 對於每個子問題，都可通過上面的分析求出。通過3），4）可以發現，每一次求取子問題，問題的規模就被縮小。

要么在w 上減小，要么在 i 上減小。最后問題的規模會被縮小為 m[i,0]和m[0,w].而這兩個的值都為0，只要逆向思維反推回去，就能逐步得到問題的解。

算法描述

附c++代碼：

c-free 5編譯通過

View Code

/*0、1背包問題
一條魚@博客園 
http://www.cnblogs.com/yanlingyin/ 
2011-12-25 
*/


#include <iostream>
#include<fstream>
#include<algorithm>
#include<vector>

//存儲元素的結構 
typedef struct item
{
    int weight;
    int values;
}item;



using namespace std;
int main()
{
    int weight=10;
    int itemnum=4;
    //int k[10][4];
    
     
    vector<vector<int> > k(11,vector<int>(5));
    item items[4]={{6,30},{3,14},{4,16},{2,9}};

    
    for(int w=0;w<=weight;w++)
    {
        for(int j=0;j<=itemnum;j++)
        {
            k[w][j]=0;    
        }
    
    }

    //輸出數組    
    for(int i=0;i<=weight;i++)
    {
        for(int j=0;j<=itemnum;j++)
        {
            cout<<k[i][j];
        }
        cout<<"\n";
    }
    
    
    for(int w=1;w<=weight;w++)
    {
        cout<<"測試\n";  
        for(int j=1;j<=itemnum;j++)
        {
            if(items[j-1].weight>w)        //物品質量大於背包容量，舍去 
            {
                k[w][j]=k[w][j-1];
            }
            else        //對於兩種情況選出較大值 
            {
                k[w][j]=max(k[w][j-1],(k[w-items[j-1].weight][j-1]+items[j-1].values));
            }
            cout<<"k["<<w<<"]["<<j<<"]="<<k[w][j]<<"\n";
            
        }
        
    }
    
    cout<<"輸出哦了"<<k[weight][itemnum]<<"\n";
    
    for(int i=0;i<=weight;i++)
    {
        for(int j=0;j<=itemnum;j++)
        {
            cout<<k[i][j]<<" ";
        }
        cout<<"\n";
    }
    
}