背包九講
參考：AcWing題庫
參考書目：背包九講
1、01背包問題
- 題目描述：有 N 件物品和一個容量是 V的背包。每件物品只能使用一次。第 i件物品的體積是 vi，價值是 wi。求解將哪些物品裝入背包，可使這些物品的總體積不超過背包容量，且總價值最大。
輸出最大價值。
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思路：動態規划，對於每一件物品遍歷背包容量，當背包可容納值大於等於當前物品，與之前已放進去的物品所得價值進行對比，考慮把是否需要置換。
- 狀態轉移方程：定義dp[i][j]：前i個物品，背包容量j下的最優解
-（1）當前背包容量不夠，為前\(i-1\)個物品最優解：j<w[i]時，有dp[i][j]=dp[i-1][j]
-（2）當前背包容量夠，判斷選還是不選第i個物品：j>=w[i]時，選該物品->dp[i][j]=dp[i-1][j-w[i]]+v[i]；不選該物品->dp[i][j]=dp[i-1][j]
- 狀態轉移方程：定義dp[i][j]：前i個物品，背包容量j下的最優解
## 偽代碼：
# for i=1..N
# for v=V..0
# f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};
- \(\color{red}{代碼實現-github}\)：0-1背包
2、完全背包問題
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題目描述：有 N 種物品和一個容量是 V的背包，每種物品都有無限件可用。第 i種物品的體積是 vi，價值是 wi。求解將哪些物品裝入背包，可使這些物品的總體積不超過背包容量，且總價值最大。輸出最大價值。
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思路：
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思路1：最簡單的想法，就是將完全背包轉化為0-1背包問題，可以將第 i 種物品轉化為W/w[i]件費用及價值均不變的物品，然后求解0-1背包問題。
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思路2：更高效的轉化方法是第 i 種物品拆成費用為w[i]2^k，價值為v[i]2^k的若干件物品，其中k滿足w[i]*2^k<=W。因為不管最優策略 選幾件第 i 種物品，總可以表示成若干個 2^k 件物品的和（二進制思想）
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思路3（完全背包優化）：若兩件物品i、j滿足c[i]<=c[j]且w[i]>=w[j]，則將物品j去掉，不用考慮。c表物品重量，w表示對應物品價值。即將重量大且價值低的物品去掉。
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思路4（復雜度為O(VN)）： 0-1背包問題中要按照 w=W..0 的逆序來循環，而完全背包必須按照從小到大的順序。這是因為 要保證第 i 次循環中的狀態 f[i][w]是由狀態 f[i-1][w-w[i]]遞推而來。換句話 說，這正是為了保證每件物品只選一次，保證在考慮“選入第 i 件物品”這件策 略時，依據的是一個絕無已經選入第 i 件物品的子結果 f[i-1][w-w[i]]。而現 在完全背包的特點恰是每種物品可選無限件，所以在考慮“加選一件第 i 種物 品”這種策略時，卻正需要一個可能已選入第 i 種物品的子結果 f[i][w-w[i]]， 所以就可以並且必須采用 w=0..W 的順序循環。
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## 偽代碼：
# for i=1...N
# for w=0...W
# f[w] = max(f[w], f[w-cost]+weight)
- \(\color{red}{代碼實現-github}\)：完全背包