第四章 特征值與特征向量

§4.1  特征值與特征向量

§4.1.1特征值與特征向量的概念及其計算

定義1.  設A是數域P上的一個n階矩陣，l是一個未知量，

     

 

稱為A的特征多項式，記 ¦(l)=| lE-A|，是一個P上的關於 l

的n次多項式，E是單位矩陣。

¦(l)=| lE-A|=lⁿ+a₁l^n-1+…+a_n= 0是一個n次代數方程，稱為A的特征方程。 特征方程 ¦(l)=| lE-A|=0的根 (如：l₀) 稱為A的特征根(或特征值)。 n次代數方程在復數域內有且僅有n 個根，而在實數域內不一定有根，因此特征根的多少和有無，不僅與A有關，與數域P也有關。

以A的特征值 l₀代入 (lE-A)X=0，得方程組 (l₀E-A)X=q，是一個齊次方程組，稱為A的關於l₀的特征方程組。因為 |l₀E-A|=0，(l₀E-A)X=0 必存在非零解X⁽⁰⁾ ，X⁽⁰⁾ 稱為A的屬於 l₀的特征向量。所有l₀的特征向量全體構成了l₀的特征向量空間。

 

 

一. 特征值與特征向量的求法

    對於矩陣A，由AX=l₀X，l₀EX=AX，得：

         [l₀E-A]X=q  即齊次線性方程組

    

 

有非零解的充分必要條件是：

 

 

即說明特征根  是特征多項式 |l₀E-A| =0的根，由代數基本定理

 

 

有n個復根 l₁, l₂,…, l_n，為A的n個特征根。

當特征根 l_i (I=1,2,…,n)求出后，(l_iE-A)X=q 是齊次方程，l_i均會使 |l_iE-A|=0，(l_iE-A)X=0 必存在非零解，且有無窮個解向量，(l_iE-A)X=0 的基礎解系以及基礎解系的線性組合都是A的特征向量。

例1. 求矩陣  的特征值與特征向量。

解：由特征方程

 

 

解得A有2重特征值 l₁=l₂=-2，有單特征值 l₃=4

對於特征值 l₁=l₂=-2，解方程組 (-2E-A)x=0

 

 

得同解方程組 x₁-x₂+x₃=0

解為x₁=x₂-x₃ (x₂,x₃為自由未知量)

分別令自由未知量 

 

得基礎解系 

所以A的對應於特征值 l₁=l₂=-2的全部特征向量為

x=k₁x₁+k₂x₂    (k₁,k₂不全為零)

可見，特征值 l=-2的特征向量空間是二維的。注意，特征值在重根時，特征向量空間的維數£特征根的重數。

對於特征值 l₃=4，方程組  (4E-A)x=0

 

 

得同解方程組為 

 

通解為 

 

令自由未知量 x₃=2 得基礎解系  

 

所以A的對於特征值 l₃=4 得全部特征向量為 x= k₃ x₃

 

例2.       求矩陣  

 

的特征值與特征向量

解：由特征方程

 

 

解得A有單特征值 l₁=1，有2重特征值 l₂=l₃=0

對於 l₁=1，解方程組 (E-A) x = 0

 

 

得同解方程組為 

同解為 

 

令自由未知量 x₃=1，得基礎解系 

 

所以A的對應於特征值 l₁=1的全部特征向量為 x=k₁x₁  (k₁¹0)

對於特征值 l₂=l₃=0，解方程組  (0E-A)=0

 

 

得同解方程組為 

通解為 

令自由未知量 x₃=1，得基礎解系 

此處，二重根 l=0 的特征向量空間是一維的，特征向量空間的維數<特征根的重數，這種情況下，矩陣A是虧損的。

所以A的對應於特征值 l₂=l₃=0 得全部特征向量為 x=k₂x₃ 

 

例3．   矩陣  的特征值與特征向量

解：由特征方程

 

解得A的特征值為  l₁=1, l₂=i, l₃=-i

      對於特征值 l₁=1，解方程組 (E-A)=0 ，由

      

得通解為

 

 

令自由未知量 x₁=1，得基礎解系 x₁=(1,0,0)^T，所以A的對應於特征值 l₁=1得全部特征向量為 x=k₁x₁

      對於特征值 l₂=i，解方程組 (iE-A)=0

 

得同解方程組為

 

 

 

 

通解為

 

 

令自由未知量 x₃=1，得基礎解系 x₂=(0,i,1)^T，所以A對應於特征值l₂=1的全部特征向量為 x=k₂x₂  (k₂¹0)。

      對於特征值 l₃=-i，解方程組 (-E-A)x=0，由

      

 

得同解方程組為

 

 

通解為

 

 

令自由未知量 x₃=1，，得基礎解系 x₃=(0,-i,1)^T，所以A的對應於 l₃=-i的全部特征向量為 x=k₃x₃ 。特征根為復數時，特征向量的分量也有復數出現。

特征向量只能屬於一個特征值。而特征值 l_i的特征向量卻有無窮多個，他們都是齊次線性方程組 (l_iE-A)x=0 的非0解。其中，方程組(l_iE-A)x=0的基礎解系就是屬於特征值l_i的線性無關的特征向量。

 

性質1.  n階方陣A=(a_ij)的所有特征根為l₁，l₂，…, l_n(包括重根)，則

   

證第二個式子：

 

由偉達定理，l₁l₂…l_n=(-1)ⁿa_n

又 |lE-A|=lⁿ+a₁l^{n -1}+…+a_n-1l₁+a_n 中用 l=0 代入二邊，得：

|-A|=a_n， 而 |A|=(-1)ⁿa_n= l₁l₂…l_n，

 

性質2. 若 l 是可逆陣A的一個特征根，x為對應的特征向量，則

 是A^-1的一個特征根，x仍為對應的特征向量。

  證：

 

可見  是A^-1的一個特征根。

其中 l¹0，這是因為0不會為可逆陣的特征根，不然，若l_i=0,

|A|= l₁l₂…l_n=0，A奇異，與A可逆矛盾。

 

性質3. 若 l 是方陣A的一個特征根，x為對應的特征向量，則

l^m是A^m的一個特征根，x仍為對應的特征向量。

證：1) Ax=lx，二邊左乘A，得：A²x=Alx=lAx=llx=l²x，

可見 l² 是 A² 的特征根；

    2) 若 l^m 是 A^m 的一個特征根，A^mx= l^mx，

   二邊左乘A，得：A^m+1x=AA^mx=Al^mx=l^mAx=l^mlx=l^m+1x，

   得l^m+1是A^m+1的特征根

  用歸納法證明了l^m 是 A^m 的一個特征根。

 

性質4. 設 l₁，l₂，…, l_m是方陣A的互不相同的特征值。x_j是屬於l_i 的特征向量( i=1,2,…,m)，則 x₁,x₂,…,x_m線性無關，即不相同特征值的特征向量線性無關 。

性質4給出了屬於不相同特征值的特征向量之間的關系，因而是一個很重要的結論。

    性質4可推廣為：設 l₁，l₂，…, l_m為方陣A的互不相同的特征值，x₁₁,x₁₂,…,x_1,k1是屬於l₁的線性無關特征向量，……，x_m1,x_m2,…,x_m,k1是屬於l_m 的線性無關特征向量。則向量組 x₁₁,x₁₂,…,x_1,k1,…, x_m1,x_m2,…,x_m,k1也是線性無關的。即對於互不相同特征值，取他們各自的線性無關的特征向量，則把這些特征向量合在一起的向量組仍是線性無關的。