第四章 向量空間

​4.0 序言

當我們把Rⁿ僅僅看作自然地岀現在應用問題中的各種向量空間之一時,線性代數的魅力和威力將更清楚地顯露出來.

​ 實際上,研究向量空間與研究Rⁿ本身並沒有多大不同,因為我們可以利用R²和R³中的幾何經驗使許多幾何概念直觀化.

Rⁿ實際上更加抽象,向量空間只是它的一種表現形式

• 4.1節中給出一些基本定義之后,一般向量空間的框架逐步展開並貫穿於全章.

• 4.3 4.5節的一個目標是表明其他向量空間是如何類似於R"的.

• 4.6節討論的秩是本章的高潮之一,利用向量空間的術語將矩陣的重要知識連在一起.

• 4.8節將本章的理論應用到離散信號和差分方程,
  它們用於像航天飛機中用到的數字控制系統.

• 4.9節中的馬爾可夫( Markov)鏈與本章中理論性較強的部分相比有了質的變化,它為第5章中出現的概念提供了較好的例子
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4.1 向量空間和子空間

向量空間

定義

一個向量空間是由一些被稱為向量的對象構成的非空集合V,在這個集合上定義了
兩個運算,稱為加法和標量乘法(標量取實數),服從以下公理(或法則),這些公理必須對
V中所有向量u,ν,w及所有標量(或稱數)c和d均成立

1. u,v之和(表示為u+ν)屬於V

2. u+v=y+u

3. (u+v)+w=u+(v+w)

4. V中存在一個零向量0,使得u+0=u

5. 對V中每個向量u,存在V中一個向量-u,使得u+(-u)=0.

6. u與標量c的標量乘法(記為cu)屬於V

7. c(u+v)=cu+cv

8. (c+d)u=cu+du

9. c(du)=(cd)u

10. 1u=u

V(n維空間有向線段的集合)是向量空間

P_n是向量空間

對於n≥0,次數最高為n的多項式集合P_n由形如下列的多項式組成
p(t)=a₀+a₁ t+a₂ t²+...+a_n tⁿ

V(函數的集合)是向量空間

設V是定義在集合D上的全體實值函數的集合(典型地,D為實數集或實軸上的區間)
用通常方式定義加法(f+g)仍為函數,在D中t處的值為f(t)+g(t).

同樣,對標量c和V中的f,標量乘法cf仍為函數,在t的值為cf(t).

子空間

定義

向量空間V的一個子空間是V的一個滿足以下三個性質的子集H:

1. V中的零向量在H中
2. H對向量加法封閉,即對H中任意向量u,ν,和u+v仍在H中
3. H對標量乘法封閉,即對H中任意向量u和任意標量c,向量cu仍在H中.

R²不是R³的子空間,也不是它的子集

描述子空間的常用方法

線性組合:表示一些向量的任意標量乘法之和

Span{v₁...v_n}表示所有可以表示成v₁…,v_n的線性組合的向量集合

從而可推

定理1

若v₁…,v_p在向量空間V中,則Span{v₁,…,v_p}是V的一個子空間

我們稱Span{v₁…,v_p}是由{v₁…,v_p}生成(或張成)的子空間.給定V的任一子空間H,H

的生成(或張成)集是集合{v₁…,v_p}CH,滿足H=Span{v₁…,v_p}

形如如

x=av₁+bv₂ a,b為任意數

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4.2 向量空間.子空間和線性變換.

引言

在線性代數的應用中,Rⁿ的子空間通常由以下兩種方式產生:

• 作為齊次線性方程組的解集 (零空間)

• 作為某些確定向量的線性組合的集合 (列空間)

這里的主要新特征是術語.本節包括對線性變換的值域與核的討論

零空間

矩陣A的零空間寫成NulA,是齊次方程Ax=0的全體解的集合.用集合符號表示,即
NulA={x:x∈Rⁿ,Ax=0}

零空間是一個向量空間

定理2

m x n矩陣A的零空間是Rⁿ的一個子空間.等價地,m個方程、n個未知數的齊次
線性方程組Ax=0的全體解的集合是Rⁿ的一個子空間.

NulA的一個顯式表示

比如x₁u+x₄v+x₅w

列空間

定義

m×n矩陣A的列空間(記為ColA)是由A的列的所有線性組合組成的集合.若
A=[a₁a₂..a_n],則ColA=Span{a₁a₂..a_n}

定理3

m x n矩陣A的列空間是R^m的一個子空間

當且僅當方程Ax=b對R^m中每個b有一個解,m×n矩陣A的列空間等於R^m

線性變換的核和值域

定義

由向量空間V映射到向量空間W內的線性變換T是一個規則,它將中每個向量x映射成W中唯一向量T(x),且滿足
(i)T(u+v)=T(u)+T(v),對V中所有u,v均成立
(ⅱ)T(cu)=cT(u),對V中所有u及所有數c均成立

零空間是向量空間V中的向量,且變換后在向量空間K中被壓縮為零的向量組成的子空間

線性變換T的核(或零空間)是V中所有滿足T(u)=0的向量u的集合(0為W中的零向量).

T的值域是W中所有具有形式T(x)(任意x∈V)的向量的集合如果T是由一個矩陣變換得到的,

比如對某矩陣A,T(x)=Ax,則T的核與值域恰好是前面定義的A的零空間和列空間

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4.3 線性無關集和基

引言

如何有效的生成一個向量空間?

V中向量的一個指標集{v₁...v_p}稱為是線性無關的,如果向量方程
c₁v₁+c₂v₂...+c_pv_p=0; (1)
只有平凡解,即c₁=0,…,c_p=0
集合{v₁...v_p}稱為線性相關,如果(1)有一個非平凡的解,即存在某些權c1,…,c_p不全為零,使得(1)式成立.此時(1)式稱為v₁...v_p之間的一個線性相關關系

定理4

兩個或多個向量組成的有編號的向量集合{v₁...v_p}(如果v₁≠0)是線性相關的,當且僅當某v(j>1)是其前面向量v₁...v_j-1的線性組合

定義

令H是向量空間V的一個子空間.V中向量的指標集B={b₁...b_p}稱為H的一個基,如果
(i)B是一線性無關集
(ⅱ)由B生成的子空間與H相同,即H=Span{b…,b}

生成基定理

一個基可以通過由一個生成集中去掉不需要的向量構造出來

定理5 (生成集定理)

令S={v₁...v_p}是V中的向量集,H=Span{v₁...v_p}
a.若S中某一個向量(比如說ν)是S中其余向量的線性組合,則S中去掉ν后形成的集
合仍然可以生成H.
向量空間209
b.若H≠0},則S的某一子集是H的一個基

定理6

矩陣A的主元列構成ColA的一個基
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4.4 坐標系

引言

定理7

唯一表示定理

令B＝｛b₁ ...b_n｝是向量空間V的一個基，則對V中每個向量x，存在唯一的一組數c₁··c_n使得
x=c₁b₁ +···+c_nb_n

定義

假設B=｛b₁ ...b_n｝是V的一個基， x在V中， x相對於基B的坐標（或x的B-坐標）是使得x=c₁b₁ +···+c_nb_n的權c₁...c_n

若c₁...c_n是x的B-坐標，則Rⁿ中的向量

[x]_B=

\[ \begin{bmatrix} c1 \\.\\.\\.\\cn\end{bmatrix} \]

是x （相對於B）的坐標向量或x的B-坐標向量，映射x->[x]_B稱為（由B確定的）坐標映射.

坐標變換矩陣

P_B=[b₁ ...b_n]

向量方程

x=c₁b₁ +···+c_nb_n

等價於

x=P_B[x]_B

P_B為從B到Rⁿ中標准基的坐標變換矩陣

坐標映射

對向量空間V選定一個基B＝｛b₁ ...b_n｝，它引出V中一個坐標系．坐標映射x→[x]_B將可能不熟悉的空間V與熟悉的空間Rⁿ聯系了起來．V中的點現在可以由它們的新“名字”來確定.


定理8

令B={b₁ ...b_n}是向量空間的一個基,則坐標映射x->[x]_B是一個由V映上到Rⁿ的一對一的線性變換

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