DFT與傅里葉變換的理解

根據信號的不同類型，可以把傅立葉變換分為四類：

1) 非周期性連續信號： 傅立葉變換(Fourier Transform，FT)

2) 周期性連續信號： 傅立葉級數(Fourier Series，FS)

3) 非周期性離散信號： 離散時域傅立葉變換(Discrete Time Fourier Transform ,DTFT)

4)周期性離散信號： 離散傅立葉變換(Discrete Fourier Series，DFS)

根據時域與頻域的對應關系，我們可以知道，周期<---->離散，是一對對偶關系，即周期信號的傅里葉變換一定是離散的，離散信號的傅里葉變換一定是周期的，反之也成立。

所以針對上述四種傅里葉變換，我們知道，FT的結果具有連續非周期性質，FS的結果具有離散非周期性質，DTFT結果具有連續周期性質，DFT結果具有離散周期性質。

非周期連續信號的傅里葉變換(FT)為：\[F(\omega ) = \int\limits_{ - \infty }^\infty  {x(t){e^{-i\omega t}}dt} \]

非周期離散序列的傅里葉變換(DTFT)為：\[F(\omega ) = \sum\limits_{n =  - \infty }^\infty  {x(n){e^{-i\omega nT_s}}} \]

周期連續信號的傅里葉變換(FS)為：

\[F({\omega _k}) = \frac{1}{T}\int\limits_0^T {x(t){e^{-i{\omega _k}t}}} dt = \frac{1}{T}
\int\limits_0^T {x(t){e^{-i2\pi kt/T}}} dt\]

周期離散信號的傅里葉變換(DFS)為：

\[{F(\omega_k)} = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x(n){e^{-i{\omega _k}n}}}
  = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x(n){e^{-i2\pi \tfrac{k}{N}n}}} \]

假定x(n)為T_s區域上x(t)的均值，且T_s（抽樣間隔）足夠小，如下圖所示：

則有

\[F_{FT}{(\omega )} = \int\limits_{ - \infty }^\infty  {x(t){e^{i\omega t}}dt}  = \sum\limits_{n =  - \infty }^\infty  {\int_{n{T_s}}^{(n + 1){T_s}} {x(t){e^{i\omega t}}dt} }  = {T_s}\sum\limits_{n =  - \infty }^\infty  {x(n){e^{i\omega n{T_s}}}}  =T_s F_{DTFT}{(\omega )}\]

其中

\[x(n) = \frac{1}{{{T_s}}}\int_{n{T_s}}^{(n + 1){T_s}} {x(t)dt} \]

所以非周期連續信號與非周期離散信號之間頻譜關系為：

F_FT(ω)=T_s·F_DTFT(ω) （ω<2πf_s）

同樣可以推導周期連續信號與周期離散信號之間頻譜關系為：

F_FS(ω_k)=T_s/T·F_DFS(ω_k)=1/N·F_DFS(ω_k) （k<N）

上述等式所加的限定是由於離散信號的頻譜具有周期性，等價於原連續信號頻譜以f_s為周期進行平移。這是由於離散信號的傅里葉變換的核函數具有周期性,例如DTFT的核函數為$  {e^{-i\omega nT_s}}$，當ω增加2πf_s時，其值仍然不變。

假若連續信號為一個波包，最高頻率為f_H,只在有限時間內幅值不為0，則連續信號按周期T延拓后周期信號的傅里葉級數是原連續信號的頻域抽樣，抽樣周期為1/T，其中T為周期信號的周期。公式表示為：

F_FS(ω_k)=1/T·F_FT(ω=ω_k)

上述四種傅里葉變換的關系由下圖可以對比看出：

上圖中，離散信號的采樣周期f_s>2f_H；FS變換的頻譜分辨率為1/T.

在實際使用用計算機處理數據時，要求數據都是有限長度，而上述四種傅立葉變換都是針對無窮長度的信號。

針對有限長度的離散信號，定義了DFT：設x(n)是一個長度為N的有限長序列，則定義x(n)的N點離散傅里葉變換為：

\[X(k) = DFT[x(n)] = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x(n)W_N^{kn}} ,{\text{ k = 0, 1, }}...{\text{, N - 1}}\]

其中W_N=exp(-j2π/N).

*matlab FFT函數中的W_N的定義與此不一樣，與上式中的W_N成共軛關系，所以信號做fft之后需要使用fftshift函數變換后才與上式定義一致，這可從help和sin(2π/16*[0:127])的fft結果可以看出。

從DFT的定義式可以看出：

1）DFT可以視為非周期連續信號的FT在頻域的抽樣，值為F_DFT(ω_k) =f_s·F_FT(ω=ω_k)；

2）DFT也可以視為非周期離散信號的DTFT在主周期的抽樣，值為F_DFT(ω_k) =F_DTFT(ω_k)；

3）DFT也可以視為周期連續信號FS，值為F_DFT(ω_k) =N·F_FS(ω_k)；

4）DFT也可以視為周期離散信號的DFS，但只取DFS的主周期，值為F_DFT(ω_k) =F_DFS(ω_k)。

對於上述四種信號的頻譜密度，又有：

1）非周期連續信號的FT即為頻譜密度；

2）非周期離散信號的頻譜密度為F_FT(ω)=T_s·F_DTFT(ω) =F_DTFT(ω)/f_s

3）周期信號的頻譜密度為${F_{FT}}(\omega ) = 2\pi \sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {{F_{FS}}({\omega _k})\delta (\omega  - {\omega _k})} $，即在某些頻點上，頻譜密度無窮大；

4）周期離散信號頻譜密度與周期連續信號類似，值為$\frac{{2\pi }}{N}\sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {{F_{DFS}}({\omega _k})\delta (\omega  - {\omega _k})} $。

所以用DFT值得到相應信號的頻譜密度，根據上述等式轉換即可。如對於非周期連續信號的功率譜密度有：

\[{P_\omega } = \frac{{{F^2}(\omega )}}{T} = \frac{{{T_s}^2 \cdot X_k^2}}{T} = \frac{{X_k^2}}{{N \cdot {f_s}}}\]

問題：1）上述幾個個等式與Paseval定理$\int f(t)^2dt=\frac{1}{2\pi}\int F(\omega)^2d\omega$的關系？

            2）各個變換的量綱是什么？