一、虛數
虛數/復數在學習中一開始是難以接受的。實際上，歷史上人們也是經過了近500年的掙扎才真正接受了虛數這個不知所謂的東西，那么我們也當然需要時間來接受它了。高中對虛數的引入是對二次方程x^2+1=0求解，得x=√-1，規定其為虛數i，即i^2=-1，引入虛數，將實數域拓展到復數域，實現一些實數域無解的方程在復數域有解（復數域中，幾元方程就有幾個解）。
話是這么說，那么虛數的幾何意義，或者說物理意義是什么呢？這里要說明一點，引用陳懷琛教授的想法，數學是抽象地描述物理的一種工具，那么數學一定有其物理意義，只是大多時候數學超前於物理，所以人們暫時想不到它的物理意義而不是它沒有物理意義而已。那么說回來，虛數的物理意義是什么？
旋轉，答案就是旋轉。乘以i相當於逆時針旋轉90度。想象一個平面，（嫌麻煩就不畫了，下面給出的知乎連接中有詳細的回答），橫軸為數軸，縱軸為虛軸，橫軸上的向量1，乘以i，變成了虛數，成為了縱軸上的向量，相當於逆時針旋轉了90度。再想想，橫軸是向量1乘以-1就變成了-1，是不是相當於逆時針旋轉了180度？而 i^2=-1,說明是旋轉了兩次90度，也就說乘以一個i就旋轉了90度。
那么虛數有什么用處呢？在數學上，他的加入使得數學體系更完美，n次方程的n個解，歐拉公式……。在物理上，或者對於一個工程師而言，它讓我們有了一種工具來描述各種東西——電磁學中的正交的電磁場，用一個實數加三個特殊虛數的四元數來描述無人機的運動……
二、傅里葉變換中的負頻率
頻率，原始定義是機械1秒內運動的次數。
然而，到了二維平面，它的定義就擴充了，不再局限，而是用來描述旋轉的快慢。這里就有了角頻率，Ω=2πf，rad/s。既然是旋轉，那么就有逆時針旋轉和順時針旋轉，以逆時針旋轉頻率為正，那么順時針旋轉頻率就為負頻率了。因此，傅里葉變換中，負頻率是有物理意義的，不是只有數學意義的東西。如果這點搞不清楚，就是囿於頻率的原始意義，沒有接受它的擴充意義。
負頻率的物理意義找到了，那么它在傅里葉變換中有什么用？實際上，如果我們感受不到負頻率的作用，可能是為了簡單，我們只學習到了一維x-t或y-t上的sin(wt)或cos(wt)的圖像，而沒有在二維的上學習。傅里葉變換的核是e^(jwt)=cos(wt)+i sin(wt)，而信號與系統的學習中僅僅拎出來sin(wt)或者cos(wt)進行學習，而這樣是看不出相位、負頻率這東西的，我們只看到了w的絕對值而已，sin(wt)=sin(-wt）。
三、復數、負頻率的綜合思考
我們知道，復平面中表達一個實數或者說cos(wt），可以說是復數再實軸的投影。
但借助歐拉公式，用上負頻率，我們也可以這么表達cos(wt)=0.5[e^(jwt)+e^(-jwt)]，這就是歐拉公式的物理意義，也將復數/虛數和負頻率用到了一起。
ps：sin(wt)=0.5(e^(jwt)-e^(-jwt))，相當於0.5e^(-jwt)旋轉180度再與0.5e^(jwt)合成。
參考資料：
1、陳懷琛教授-論頻譜中負頻率成分的物理意義
2、知乎-復數的物理意義是什么？