[轉]利普希茨連續（Lipschitz continuity）

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【轉載：http://zh.wikipedia.org/wiki/利普希茨連續】

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在數學中，特別是實分析，利普希茨連續（Lipschitz continuity）以德國數學家魯道夫·利普希茨命名，是一個比通常連續更強的光滑性條件。直覺上，利普希茨連續函數限制了函數改變的速度，符合利普希茨條件的函數的斜率，必小於一個稱為利普希茨常數的實數（該常數依函數而定）。

在微分方程，利普希茨連續是皮卡-林德洛夫定理中確保了初值問題存在唯一解的核心條件。一種特殊的利普希茨連續，稱為壓縮應用於巴拿赫不動點定理。

利普希茨連續可以定義在度量空間上以及賦范向量空間上；利普希茨連續的一種推廣稱為赫爾德連續。

定義[編輯]

對於利普希茨連續函數，存在一個雙圓錐(白色)其頂點可以沿着曲線平移，使得曲線總是完全在這兩個圓錐外。

對於在實數集的子集的函數 $f \colon D \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ，若存在常數，使得 $|f(a)-f(b)| \le K|a-b| \quad \forall a,b \in D$ ，則稱符合利普希茨條件，對於最小的常數稱為的利普希茨常數。

若 K < 1 ，稱為收縮映射。

利普希茨條件也可對任意度量空間的函數定義：

給定兩個度量空間 (M, d_M), (N, d_N) ， $U \subseteq M$ 。若對於函數 $f <wbr>: U \to N$ ，存在常數使得

$d_N(f(a), f(b)) \le K d_M(a,b) \quad \forall a,b \in U$

則說它符合利普希茨條件。

若存在 $K \ge 1$ 使得

$\frac{1}{K} d_M(a,b) \le d_N(f(a), f(b)) \le K d_M(a, b) \quad \forall a,b \in U$

則稱為雙李普希茨(bi-Lipschitz)的。

皮卡-林德洛夫定理[編輯]

若已知 y(t) 有界，符合利普希茨條件，則微分方程初值問題 $y'(t) = f(t,y(t)),\quad y(t_0)=y_0$ 剛好有一個解。

在應用上，通常屬於一有界閉區間（如 $[0,2 \pi]$ ）。於是 y(t) 必有界，故有唯一解。

例子[編輯]

$f:[-3,7] \to \mathbb{R},\quad f(x)=x^2$ 符合利普希茨條件，。
$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R},\quad f(x)=x^2$ 不符合利普希茨條件，當 $x \to \infty , \quad f'(x) \to \infty$ 。
定義在所有實數值的 $f(x)=\sqrt{x^2+5}$ 符合利普希茨條件，。
符合利普希茨條件，。由此可見符合利普希茨條件的函數未必可微。
$f: [0,1] \to [0,1], \quad f(x)=\sqrt{x}$ 不符合利普希茨條件， $x \to 0, \quad f'(x) \to \infty$ 。不過，它符合赫爾德條件。
當且僅當處處可微函數f的一次導函數有界，f符利普希茨條件。這是中值定理的結果。所有函數都是局部利普希茨的，因為局部緊致空間的連續函數必定有界。

性質[編輯]

符合利普希茨條件的函數一致連續，也連續。
bi-Lipschitz函數是單射的。
Rademacher定理：若 $A \subseteq \mathbb{R}^n$ 且為開集， $f <wbr>: A'' \to \mathbb{R}^n$ 符利普希茨條件，則f幾乎處處可微。^[1]
Kirszbraun定理：給定兩個希爾伯特空間， $U \in H_1$ ， $f: U \to H_1$ 符合利普希茨條件，則存在符合利普希茨條件的 $F: H_1 \to H_2$ ，使得的利普希茨常數和的相同，且 $F(x)=f(x) \quad \forall x \in U$ 。^[2]^[3]

參考[編輯]

^ Juha Heinonen, Lectures on Lipschitz Analysis, Lectures at the 14th Jyväskylä Summer School in August 2004. （第18頁以后）
^ M. D. Kirszbraun. Uber die zusammenziehenden und Lipschitzchen Transformationen. Fund. Math., (22):77–108, 1934.
^ J.T. Schwartz. Nonlinear functional analysis. Gordon and Breach Science Publishers, New York, 1969.

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