[转]利普希茨连续（Lipschitz continuity）

本文转载自查看原文 2017-12-01 17:11 1206 基础数学

【转载：http://zh.wikipedia.org/wiki/利普希茨連續】

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在数学中，特别是实分析，利普希茨连续（Lipschitz continuity）以德国数学家鲁道夫·利普希茨命名，是一个比通常连续更强的光滑性条件。直觉上，利普希茨连续函数限制了函数改变的速度，符合利普希茨条件的函数的斜率，必小于一个称为利普希茨常数的实数（该常数依函数而定）。

在微分方程，利普希茨连续是皮卡-林德洛夫定理中确保了初值问题存在唯一解的核心条件。一种特殊的利普希茨连续，称为压缩应用于巴拿赫不动点定理。

利普希茨连续可以定义在度量空间上以及赋范向量空间上；利普希茨连续的一种推广称为赫尔德连续。

定义[编辑]

对于利普希茨连续函数，存在一个双圆锥(白色)其顶点可以沿着曲线平移，使得曲线总是完全在这两个圆锥外。

对于在实数集的子集的函数 $f \colon D \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ，若存在常数，使得 $|f(a)-f(b)| \le K|a-b| \quad \forall a,b \in D$ ，则称符合利普希茨条件，对于最小的常数称为的利普希茨常数。

若 K < 1 ，称为收缩映射。

利普希茨条件也可对任意度量空间的函数定义：

给定两个度量空间 (M, d_M), (N, d_N) ， $U \subseteq M$ 。若对于函数 $f <wbr>: U \to N$ ，存在常数使得

$d_N(f(a), f(b)) \le K d_M(a,b) \quad \forall a,b \in U$

则说它符合利普希茨条件。

若存在 $K \ge 1$ 使得

$\frac{1}{K} d_M(a,b) \le d_N(f(a), f(b)) \le K d_M(a, b) \quad \forall a,b \in U$

则称为双李普希茨(bi-Lipschitz)的。

皮卡-林德洛夫定理[编辑]

若已知 y(t) 有界，符合利普希茨条件，则微分方程初值问题 $y'(t) = f(t,y(t)),\quad y(t_0)=y_0$ 刚好有一个解。

在应用上，通常属于一有界闭区间（如 $[0,2 \pi]$ ）。于是 y(t) 必有界，故有唯一解。

例子[编辑]

$f:[-3,7] \to \mathbb{R},\quad f(x)=x^2$ 符合利普希茨条件，。
$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R},\quad f(x)=x^2$ 不符合利普希茨条件，当 $x \to \infty , \quad f'(x) \to \infty$ 。
定义在所有实数值的 $f(x)=\sqrt{x^2+5}$ 符合利普希茨条件，。
符合利普希茨条件，。由此可见符合利普希茨条件的函数未必可微。
$f: [0,1] \to [0,1], \quad f(x)=\sqrt{x}$ 不符合利普希茨条件， $x \to 0, \quad f'(x) \to \infty$ 。不过，它符合赫尔德条件。
当且仅当处处可微函数f的一次导函数有界，f符利普希茨条件。这是中值定理的结果。所有函数都是局部利普希茨的，因为局部紧致空间的连续函数必定有界。

性质[编辑]

符合利普希茨条件的函数一致连续，也连续。
bi-Lipschitz函数是单射的。
Rademacher定理：若 $A \subseteq \mathbb{R}^n$ 且为开集， $f <wbr>: A'' \to \mathbb{R}^n$ 符利普希茨条件，则f几乎处处可微。^[1]
Kirszbraun定理：给定两个希尔伯特空间， $U \in H_1$ ， $f: U \to H_1$ 符合利普希茨条件，则存在符合利普希茨条件的 $F: H_1 \to H_2$ ，使得的利普希茨常数和的相同，且 $F(x)=f(x) \quad \forall x \in U$ 。^[2]^[3]

参考[编辑]

^ Juha Heinonen, Lectures on Lipschitz Analysis, Lectures at the 14th Jyväskylä Summer School in August 2004. （第18页以后）
^ M. D. Kirszbraun. Uber die zusammenziehenden und Lipschitzchen Transformationen. Fund. Math., (22):77–108, 1934.
^ J.T. Schwartz. Nonlinear functional analysis. Gordon and Breach Science Publishers, New York, 1969.

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