關於素數定理的一個延拓

一直以來，我們總是在孜孜不倦地尋找素數的規律，但是，很難成功，我們可以把素數看作人類思想無法滲透的秘密.

公元前3世紀，古希臘哲學家Eratosthenes提出了一個叫”過篩”的方法，做出了世界上第一張素數表，即按照素數的大小排列成表，把自然數按其大小一一寫上去，然后，按照下列法則把合數去掉：

把1去除，首先
把2留下，然后，把2的倍數去除
把3留下，然后，把3的倍數去除
把5留下，然后，把5的倍數去除

同理，繼續下去，直到把所有數要么留下，要么去除，這樣，若紙上最大的數是N，則上述法則可以產生N以內素數的分布表，通過表，我們就可以發現，隨着N的變大，素數會變得越來越稀疏.

例如：

1~10之間有4個素數，占全體40%
1~100之間有25個素數，占全體25%
1~1000之間有168個素數，占全體16.8%
1~1000000之間有78498個素數，占全體7.8%

我們用π(N)來表示不大於自然數N的素數的個數，則：

π(2)=1

π(3)=2

π(10)=4

π(100)=25

π(1000)=168

π(10000)=1229

π(100000000)=5761455

π(1000000000)=50847534

π(10000000000)=455052511

1792年，Gauss猜測當N充分大時，有：

π(N)~N/lnN

可以驗證：

Δπ(100)=4

Δπ(1000)=24

Δπ(10000)=144

Δπ(100000000)=332751

Δπ(1000000000)=2592590

Δπ(10000000000)=20757069

δπ(100)=0.16

δπ(1000)=0.14

δπ(10000)=0.1171

δπ(100000000)=0.05775

δπ(1000000000)=0.05098

δπ(10000000000)=0.045614

1808年，Legendre提議當N很大時，有：

π(N)~N/(lnN+B),B=-1.08366

1859年，Riemann的8頁紙論文：論不超過一個給定值的素數的個數，他把素數的分布最終歸結為所謂的Riemann ζ function之零點問題，即：

由級數ζ(s)=1+1/2^s+1/3^s+1/4^s+...(s為復變數)所定義的Riemann ζ function，若s=a+bi，那么，Riemann ζ function的所有零點，除了眾所周知的負整實數外，都位於復平面中a=1/2這條直線上.

1966年，關於陳景潤的證明：大偶數表為一個素數及一個不超過二個素數的乘積之和，例如，100=23+7x11.

2002年，關於陶哲軒,格林的證明，存在任意長度的素數等差數列，即，由素數構成的等差數列可以任意長，而且有任意多組，亦即，對於任意值K(例如，1億)，存在K個素數等差數列，K是一百億亦可，例如，3，5，7就是由3個素數構成的等差數列，長度為3，目前，通過最先進的計算機發現的最長的素數等差數列長度是23，第一項是56211383760397，公差是44546738095860.

2013年，關於張益唐的證明：素數間的有界距離，即，存在無數個素數對(p,q)，其中每一對中的兩個素數之差，即，p和q的距離，不超過七千萬，即：SUP lim|Pn-Pn-1|<7x10^7(n->∞).

1742年，Goldbach致信Euler，提出2個猜想，如下：

1.任何一個大於2的偶數都是兩個素數之和，即，”1+1”

2.任何大於5的奇數都是3個素數之和

Euler回信表示,他相信這個猜想是正確的,但他不能證明,這個猜想便引起了許多數學家的注意，從Goldbach提出這個猜想至今,許多數學家都不斷努力想攻克它,但都沒有成功，當然曾經有人作了些具體的驗證工作,例如:

6=3+3,8=3+5,10=5+5=3+7,12=5+7,14=7+7=3+11,16=5+11,18=5+13

有人對33x108以內且大過6之偶數一一進行驗算,Goldbach猜想1都成立,但嚴格的數學證明尚待數學家的努力,從此,這道著名的數學難題引起了世界上成千上萬數學家的注意,200年過去了,沒有人證明它.Goldbach猜想由此成為數學皇冠上一顆可望不可及的"明珠",人們對Goldbach猜想難題的熱情,歷經兩百多年而不衰,世界上許許多多的數學工作者,殫精竭慮,費盡心機,然而至今仍不得其解,到了20世紀20年代,才有人開始向它靠近,1920年挪威數學家布朗用一種古老的篩選法證明,得出了一個結論：每一個大的偶數都可以表示為（99）,這種縮小包圍圈的辦法很管用,科學家們於是從（9十9）開始,逐步減少每個數里所含質數因子的個數,直到最后使每個數里都是一個質數為止,這樣就證明了Goldbach猜想,目前最佳的結果是中國數學家陳景潤於1966年證明的,稱為陳氏定理：任何充分大的偶數都是一個質數與一個自然數之和,而后者僅僅是兩個質數的乘積,通常都簡稱這個結果為大偶數可表示為 “1+2”的形式,在陳景潤之前,關於偶數可表示為s個質數的乘積與t個質數的乘積之和(簡稱“s+t”問題)之進展情況如下:

1920年,挪威的布朗證明了“9+9”.
1924年,德國的拉特馬赫證明了“7+7”.
1932年,英國的埃斯特曼證明了“6+6”.
1937年,意大利的蕾西先后證明了“5+7”,“4+9”,“3+15”,“2+366”.
1938年,蘇聯的布赫夕太勃證明了“5+5”.
1940年,蘇聯的布赫夕太勃證明了“4+4”.
1948年,匈牙利的瑞尼證明了“1+c”,其中c是一很大的自然數.
1956年,中國的王元證明了“3+4”.
1957年,中國的王元先后證明了“3+3”,“2+3”.
1962年,中國的潘承洞和蘇聯的巴爾巴恩證明了“1+5”, 中國的王元證明了“1+4”.
1965年,蘇聯的布赫夕太勃,小維諾格拉多夫,意大利的朋比利證明了“1+3 ”.
1966年,中國的陳景潤證明了“1+2 ”.

布朗篩法的思路是這樣的：

即任一偶數可以寫2n,這里n是一個自然數,2n可以表示為n個不同形式的一對自然數之和：2n=1+(2n-1)=2+(2n-2)=3+(2n-3)=...=n+n,在篩去不適合Goldbach猜想結論的所有那些自然數對之后,例如1和2n-1;2i和(2n-2i),i=1,2,...;3j和(2n-3j),j=2,3,...;等等),如果能夠證明至少還有一對自然數未被篩去,例如記其中的一對為p1和p2,那么p1和p2都是素數,即得n=p1+p2,這樣Goldbach猜想就被證明了.

前一部分的敘述是很自然的想法,關鍵就是要證明'至少還有一對自然數未被篩去',目前世界上誰都未能對這一部分加以證明,要能證明,這個猜想也就解決了,然而,因大偶數n（不小於6）等於其對應的奇數數列（首為3,尾為n-3）首尾挨次搭配相加的奇數之和,故根據該奇數之和以相關類型質數+質數（1+1）或質數+合數（1+2）（含合數+質數2+1或合數+合數2+2）（注：1+2 或 2+1 同屬質數+合數類型）在參與無限次的"類別組合"時,所有可發生的種種有關聯系即1+1或1+2完全一致的出現,1+1與1+2的交叉出現（不完全一致的出現）,同2+1或2+2的"完全一致",2+1與2+2的"不完全一致"等情況的排列組合所形成的各有關聯系,就可導出的"類別組合"為1+1,1+1與1+2和2+2,1+1與1+2,1+2與2+2,1+1與2+2,1+2等六種方式,因為其中的1+2與2+2,1+2 兩種"類別組合"方式不含1+1,所以1+1沒有覆蓋所有可形成的"類別組合"方式,即其存在是有交替的,至此,若可將1+2與2+2,以及1+2兩種方式的存在排除,則1+1得證,反之,則1+1不成立得證,然而事實卻是：1+2 與2+2,以及1+2（或至少有一種）是陳氏定理中（任何一個充分大的偶數都可以表示為兩個素數的和,或一個素數與兩個素數乘積的和）,所揭示的某些規律（如1+2的存在而同時有1+1缺失的情況）存在的基礎根據,所以1+2與2+2,以及1+2（或至少有一種）"類別組合"方式是確定的,客觀的,也即是不可排除的,所以1+1成立是不可能的,這就徹底論證了布朗篩法不能證"1+1",由於素數本身的分布呈現無序性的變化,素數對的變化同偶數值的增長二者之間不存在簡單正比例關系,偶數值增大時素數對值忽高忽低,能通過數學關系式把素數對的變化同偶數的變化聯系起來嗎?不能!偶數值與其素數對值之間的關系沒有數量規律可循,二百多年來,人們的努力證明了這一點,最后選擇放棄,另找途徑,於是出現了用別的方法來證明Goldbach猜想的人們,他們的努力,只使數學的某些領域得到進步,而對Goldbach猜想證明沒有一點作用,Goldbach猜想本質是一個偶數與其素數對關系,表達一個偶數與其素數對關系的數學表達式,是不存在的,它可以從實踐上證實,但邏輯上無法解決個別偶數與全部偶數的矛盾,個別如何等於一般呢?個別和一般在質上同一,量上對立,矛盾永遠存在,Goldbach猜想是永遠無法從理論上,邏輯上證明的數學結論,用當代語言來敘述,Goldbach猜想有兩個內容,第一部分叫做奇數的猜想,第二部分叫做偶數的猜想,奇數的猜想指出,任何一個大於等於7的奇數都是三個素數的和,偶數的猜想是說,大於等於4的偶數一定是兩個素數的和,關於Goldbach猜想的難度我就不想再說什么了,我要說一下為什么現代數學界對Goldbach猜想的興趣不大,以及為什么中國有很多所謂的民間數學家對Goldbach猜想研究興趣很大,事實上,在1900年,Hilbert在世界數學家大會上作了一篇報告,提出了23個挑戰性的問題,Goldbach猜想是第8個問題的一個子問題,這個問題還包含了黎曼猜想和孿生素數猜想,現代數學界中普遍認為最有價值的是廣義黎曼猜想,若黎曼猜想成立,很多問題就都有了答案,而Goldbach猜想和孿生素數猜想相對來說比較孤立,若單純的解決了這兩個問題,對其他問題的解決意義不是很大,所以數學家傾向於在解決其它的更有價值的問題的同時,發現一些新的理論或新的工具,“順便”解決Goldbach猜想,例如,一個很有意義的問題是：素數的公式,若這個問題解決,關於素數的問題應該說就不是什么問題了,為什么民間數學家們如此醉心於Goldbach猜想,而不關心黎曼猜想之類的更有意義的問題呢?一個重要的原因就是,黎曼猜想對於沒有學過數學的人來說,想讀明白是什么意思都很困難,而Goldbach猜想對於小學生來說都能讀懂,數學界普遍認為,這兩個問題的難度不相上下,民間數學家解決Goldbach猜想大多是在用初等數學來解決問題,一般認為,初等數學無法解決Goldbach猜想,退一步講,即使那天有一個牛人,在初等數學框架下解決了Goldbach猜想,有什么意義呢?這樣解決,恐怕和做了一道數學課的習題的意義差不多了,當年Bernoulli兄弟向數學界提出挑戰,提出了最速降線的問題,Newton用非凡的微積分技巧解出了最速降線方程,Johann Bernoulli用光學的辦法巧妙的也解出最速降線方程,Jakob Bernoulli用比較麻煩的辦法解決了這個問題,雖然Jakob Bernoulli的方法最復雜,但是在他的方法上發展出了解決這類問題的普遍辦法-變分法,現在來看,Jakob Bernoulli的方法是最有意義和價值的,同樣,當年Hilbert曾經宣稱自己解決了費爾馬大定理,但卻不公布自己的方法,別人問他為什么,他回答說：這是一只下金蛋的雞,我為什么要殺掉它?的確,在解決費爾馬大定理的歷程中,很多有用的數學工具得到了進一步發展,如橢圓曲線,模形式等,所以,現代數學界在努力的研究新的工具,新的方法,期待着Goldbach猜想這個“下金蛋的雞”能夠催生出更多的理論和工具.