最近和同學討論了一下關於延拓定理的一系列事情，個人認為這屬於數學分析的盲點，為了補足這一缺憾，在這里作一點筆記。熟知如下定理
引理(Urysohn, 一般版本). 對於正規空間(=T2+T4)$X$, 令$A,B$是$X$的兩個分離的閉集, 則他們可以被連續函數分離, 具體來說, 存在連續函數$f:X\to [0,1]$使得$$f(A)=0\qquad f(B)=1$$
證明. 取任意一個在$[0,1]$上稠密的可數集$\{a_i\}_{i=0}^\infty$(例如$\mathbb{Q}\cap [0,1]$), 不妨假設$a_0=0, a_1=1$. 下面擬構造一系列開集(除了$U_0$)$\{U_i\}_{i=0}^\infty$, 使得$$a_i<a_j\iff \overline{U_i}\subseteq U_j$$具體來說, 令$U_0=A, U_1=B^c$, 假設$i<n$已經構造好, 假設$a_i<a_n<a_j$. 此時根據條件, $\overline{U_i}\subseteq U_j$, 即$\overline{U_i}$與$U_j^c$不交, 故存在開集$U_n$使得$$\overline{U_i}\subseteq U_n\subseteq \overline{U_n}\subseteq U_j$$這樣, 登高面已經決定好, 下面我們說明其決定了函數. 定義$$f: X\longrightarrow [0,1]\qquad x\longmapsto \inf\{a_i: x\in U_i\}$$下面說明其連續,
- $f(x)<r$當且僅當對$x\in \bigcup_{a_i<r} U_i$是開集.
- 因為$a_i$稠密, $U_i$嵌套的性質, $f(x)>s$當且僅當存在$s<a_i$滿足$x\notin U_i$, 再利用稠密性知道這還當且僅當存在$s<a_j<a_i$使得$x\notin \overline{U_j}$, 這當且僅當$x\in \bigcup_{s<a_j} (\overline{U_j})^c$還是開集.
這說明$f$連續. 不難看出$f(A)=0, f(B)=1$. $\square$
相比之下，度量空間的Urysohn引理更加容易，且結論更強
引理(Urysohn, 度量空間). 對於度量空間$X$, 令$A,B$是$X$的兩個分離的閉集, 則他們可以被連續函數分離, 具體來說, 存在連續函數$f:X\to [0,1]$使得$$f^{-1}(0)=A\qquad f^{-1}(1)=B$$
證明. 作$g(x)=\frac{d(x,A)}{d(x,A)+d(x,B)}$, 注意, 因為$A$是閉集, 故$d(x,A)=0\iff x\in A$, 故分母不為零, 該函數確實被定義, 再根據二者都非負不難得到$g(X)\subseteq [0,1]$. 不難得到此時$g(x)=1$當且僅當$x\in B$, $g(x)=0$當且僅當$x\in A$, 此時再調整一個線性函數即可. $\square$
作為類比，局部緊致下的Urysohn引理或許更為有用，這里局部緊已經暗含了Hausdorff性。
引理(Urysohn, 局部緊空間). 對於局部緊空間$X$, 令$A,B$是$X$的兩個分離的閉集, 且其中之一緊致, 則他們可以被連續函數分離, 具體來說, 存在連續函數$f:X\to [0,1]$使得$$f(A)=0\qquad f(B)=1$$
證明. 不妨假設$A$是緊致的, $B^c$是$A$的鄰域, 根據局部緊的假設, 存在開集$V$使得$A\subseteq V$且$\overline{V}$是緊致的. 由於對於Hausdorff緊致空間一定是正規的, 這樣可以對$A$和$\partial V$用Urysohn引理, 有$f(A)=0, f(\partial V)=1$, 只需要延拓$f$使得在$V$外$f$取值為$1$就是滿足條件的連續函數. $\square$
一個自然的問題是上面的連續能否改為可微？這需要$X$具有微分結構，這里不妨假設是歐式空間。如下的定理已經足夠使用了，這個定理使用了磨光這一技巧。
引理(Urysohn, 光滑版本). 對於歐式空間$\mathbb{R}^n$的兩個分離的閉集$A,B$, 如果其中之一是緊致的, 則他們可以被光滑函數分離, 具體來說, 存在光滑函數$f:X\to [0,1]$使得$$f(A)=0\qquad f(B)=1$$
證明. 考慮$f(x)=\begin{cases}0& x\leq 0\\ \mathrm{e}^{-1/x} & x>0\end{cases}$, 不難驗證, $f$是光滑函數. 考慮$g(x)=\frac{f(x)}{f(x)+f(1-x)}$這也是光滑函數, 對於$a<b\leq c<d$, 記$h(x)=\begin{cases} g\left(\frac{x-a}{b-a}\right)& x\leq b \\ g\left(\frac{d-x}{d-c}\right)& b\leq x\leq d\end{cases}$, 這個函數光滑且在$(a,d)$以外為$0$, 在$[b,c]$上為$1$, 方便起見記$[b,c]\leq h(x)\leq (a,d)$. 任意$\epsilon$可以作$\{0\}\leq h(x)\leq (-\epsilon,\epsilon)$, 再通過調整$h$前的倍數可以使得存在光滑函數$\chi^{0}_{\epsilon}$滿足$$\chi^0_{\epsilon}(x)>0\iff x\in (-\epsilon,\epsilon)\qquad \int \chi^0_{\epsilon}=1$$作$\chi_{\epsilon}(x^1,\ldots,x^n)=\chi^0_{\epsilon}(x^1)\ldots \chi^0_{\epsilon}(x^n)$, 則滿足$$\chi_{\epsilon}(x)>0\iff x\in (-\epsilon,\epsilon)^n\qquad \int \chi_{\epsilon}=1$$
在這里我們選擇距離$d(x,y)=\sum|x_i-y_i|$, 選擇$\epsilon>0$使得任意$a\in A,b\in B$都有$3\epsilon<d(a,b)$. 記$A^{*}=\{x: d(x,A)\leq \epsilon\}, B^*=\{x: d(x,B)\leq \epsilon\}$. 記$i=1-1_{A^*}$, $1_{A^*}$是$A^*$的特征函數, 此時考慮$$d(x,A)=(d\mathsf{*}\chi_{\epsilon})(x)=\int_{\mathbb{R}}i(x-t)\chi_{\epsilon}(t)\mathrm{d} t=\int_{(-\epsilon,\epsilon)^n}i(x-t)\chi_{\epsilon}(t)\mathrm{d} t$$注意到
- $x\in A$意味着$x-t\in A^*$, 此時$d(x-t)=0$, 故$f(x)=0$.
- $x\in B$意味着$x-t\in B^*$, 此時$d(x-t)=1$, 故$f(x)=1$.
下面再驗證$f(x)$光滑, $$\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\int \frac{i(x+\Delta x-t)-i(x-t)}{\Delta x} \chi_{\epsilon}(t)\textrm{d}t =\int \frac{\chi_{\epsilon}(x+\Delta x-t)-\chi_{\epsilon}(x-t)}{\Delta x} i(t)\textrm{d}t $$因為$\chi_{\epsilon}$光滑且只生活在一個緊致集上根據中值定理以及控制收斂定理, $\Delta x\to 0$和積分號可以交換順序, 故$$\frac{\textrm{d}}{\textrm{d} x}f (x)=\int i(t)\frac{\textrm{d}}{\textrm{d} x}\chi_{\epsilon}(x-t)\textrm{d}t=\int i(x-t)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\chi_{\epsilon}(t)\textrm{d}t$$上式是一維情況, 當中$\frac{\textrm{d}}{\textrm{d} x}$在高維可以換成任意偏微分算子, 換言之, 我們證明了$f(x)$是光滑的. $\square$
實際上這樣得到的函數還可以對導數做一些估計。
記$\chi$為$\mathbb{R}^n$在$0$處取$1$, $(-1,1)^n$外取$0$且$||\chi||_{L^1}=1$的光滑函數, 對於重指標$\alpha$, 記一致范數$|| \partial^{\alpha} \chi ||=C_{\alpha}$. 則$\chi_{\epsilon}$可以取為$\frac{\chi(x/\epsilon)}{\epsilon^n}$, 故此時$|| \partial^{\alpha} \chi_{\epsilon}||=\frac{C_{\alpha}}{\epsilon^{|\alpha|+n}}$. 對於可測集合$X$, 考慮$$f(x)=\int (1-1_X)(x-t)\chi_{\epsilon}(t)\textrm{d} t=\int_{(-\epsilon,\epsilon)^n} (1-1_X)(x-t)\chi_{\epsilon}$$則$$||\partial^{\alpha} f||\leq (2\epsilon)^n ||\partial^{\alpha}\chi_{\epsilon}||\leq \frac{2^n C_{\alpha}}{\epsilon^{|\alpha|}}$$
這樣, 對於緊致集$A$, 閉集$B$, Urysohn引理所作的光滑函數$f$將滿足$||\partial^{\alpha}f||\leq \frac{2^n 3^{|\alpha|} C_{\alpha}}{d(A,B)^{|\alpha|}}$. 即對每個$\alpha$, 存在常數$M_{\alpha}$使得$$||\partial^{\alpha}f||\leq \frac{M_{\alpha}}{d(A,B)^{|\alpha|}}$$
不過還有如下方法可以將定理做得更強。
引理(Urysohn, 光滑版本). 對於歐式空間$\mathbb{R}^n$的兩個分離的閉集$A,B$, 則他們可以被光滑函數分離, 具體來說, 存在光滑函數$f:X\to [0,1]$使得$$f^{-1}(0)=A\qquad f^{-1}(1)=B$$
證明. 采取的方法是對每個閉集$A$找類似距離函數的光滑函數$\partial(x,A)\geq 0$使得$0$的原像就是$A$, 然后為了達成要求只需要$f(x)=\frac{\partial(x,A)}{\partial(x,A)+\partial(x,B)}$. 可以斷言, 任何一個閉集$A$都是可數個正方形$\{x_i+(-\epsilon_i,\epsilon_i)^n\}$的並, 不妨假設$\epsilon\leq 1$. 上面可以得到$\chi$在$0$處取$1$, $(-1,1)^n$外取$0$, 取$C_n\geq 1$使得$$\max_{|\alpha|\leq n} || \partial^{\alpha} \chi ||\leq C_n$$作$$\partial(x,A)=\sum_{i=1}^\infty \frac{\epsilon_i^i}{2^i C_i}\chi\left(\frac{x-x_i}{\epsilon_i}\right)$$此時$$|\partial^{\alpha}\partial(x)| \leq \sum_{i=1}^\infty \frac{\epsilon_i^{i-|\alpha|}}{2^i C_i}(\partial^{\alpha}\chi)\left|\left(\frac{x-x_i}{\epsilon_i}\right)\right|\leq \sum_{i=1}^{|\alpha|}(\ldots)+\sum_{i=|\alpha|+1}^\infty \frac{1}{2^i}$$故各階導數均一致收斂, 故$\partial(x,A)$無限次可微. 而顯然$\partial(x,A)=0\iff x\in A$. $\square$
下面是著名的Tietz擴張定理。
定理(Tietz擴張). 如果$X$是正規空間或度量空間, $A$是其中一個閉集(或$X$是局部緊空間, $A$是緊致時), 則任何$A$上的連續函數都可以延拓到整個$X$上.
證明. 設連續函數$f:A\to \mathbb{R}$, 首先, 可以不妨假設$f$是有界的, 否則可以$\arctan$伺候. 不妨假設$f(A)\subseteq [0,1]$. 因為$A$是閉集(緊致集), 故$[0,1]$的閉集的原像是$X$的閉集(緊致集).
- 根據Urysohn引理考慮取連續函數$g_1:X\to [0,1/3]$分離$B_1=f^{-1}[2/3,1]$和$C_1=f^{-1}[0,1/3]$, 使得$g_1(B_1)=1/3,g_1(C_1)=0$.
- 再考慮$f_2=f-g_1|_A$, 此時$f_2(A)\subseteq [0,2/3]$, 然后再取取連續函數$g_2:X\to [0,(1/3)(2/3)]$分離$B_2=f_2^{-1}[(2/3)^2,2/3], C_2=f_2^{-1}[0,(1/3)(2/3)]$, 使得$g_2(B_2)=(1/3)(2/3), g_2(C_2)=0$.
- 再考慮$f_3=f_2-g_2|_A$, 此時$f_3(A)\subseteq [0,(2/3)^2]$.
以此類推可以得到$\{g_n\}_{n=1}^{\infty}\}$使得$||g_n||\leq (1/3)(2/3)^{n-1}$, $||f-\sum_{i=1}^n g_i||_A\leq (2/3)^n$, 換言之$g=\sum_{i=1}^\infty g_i$一致收斂(從而連續), 且在$A$上$f=g$. 這就完成了證明. $\square$
下面可以來推導著名的單位分拆定理。
定義(單位分拆). 對於拓撲空間$X$, 對於連續函數$f: X\to \mathbb{R}$, 記支集$\operatorname{supp} f=\overline{\{x\in X:f(x)\neq 0\}}$. 對於開覆蓋$\{U_{\alpha}\}$, 稱一族函數$\{\varphi_i\}$是$\{U_{\alpha}\}$的單位分拆如果
- 對任意$i$, 存在$\alpha$使得$\operatorname{supp} \varphi_i\subseteq U_{\alpha}$.
- 對每個$x\in X$, 存在鄰域$U$使得$\{i: U\cap\operatorname{supp}\varphi_i\neq \varnothing\}$是有限集.($\operatorname{supp}\varphi_i$局部有限)
- 對任意$x\in X$都有$\sum_{i} \varphi_i(x)=1$, 以及$\varphi_i(x)\geq 0$.
如果$\varphi_i$都是光滑的, 就稱之為光滑單位分拆.
當然，最為基本的就是緊致的情況。
定理(單位分拆存在定理, 緊致版本). 對於Hausdorff緊致空間$X$, 任意開覆蓋總存在單位分拆.
證明. 任意取開覆蓋, 對於每一點$x$, 假設開覆蓋中$x\in U_x$, 存在開集$W_x,V_x$使得$$x\in W_x\subseteq \overline{W_x}\subseteq V_x\subseteq \overline{V_x}\subseteq U_x$$此時$\{W_x\}$還是開覆蓋, 故存在有限覆蓋$\{W_{x_i}\}$. 此時根據Urysohn引理作$\psi_i:X\to [0,1]$滿足$\varphi_i(\overline{W_{x_i}})=1$且$\varphi_i(V_{x_i}^c)=0$, 作$\psi=\sum \varphi_i$, 因為$\{W_{x_i}\}$是開覆蓋, 故$\psi\geq 1$, 故$\varphi_i=\frac{\psi_i}{\psi}\geq 0$的支集$\subseteq \overline{V_x}\subseteq U_x$, 且滿足$\sum \varphi_i=1$, 故滿足條件. $\square$
我們自然也不會放過光滑的版本。
定理(單位分拆存在定理, 光滑版本). 對於流形$M$(假定C2), 任意開覆蓋總存在光滑單位分拆.
證明. 我們總可以找到可數的開集$\{U_i\}$和緊致集$F_i$使得$$U_1\subseteq F_1\subseteq U_2\subseteq F_2\subseteq \ldots \qquad \bigcup_{i=1}^\infty U_i=M$$只需要取可數拓撲基$\{B_i\}$, 定義$U_1=B_1$, $F_1=\overline{U_1}$, 找充分大的$n$使得$U_2=\bigcup_{i=1}^n U_i\supseteq F_1$以此類推. 這樣$\{U_{i+1}\setminus F_{i-1}\}$就是一個局部有限的可數開覆蓋. 假設$x\in U_i\setminus U_{i-1}$, 那么上面的證明中的$V_x,W_x$不妨取在$U_i\setminus F_{i-1}$之中. 他們形成$F_i\setminus U_{i-2}$的開覆蓋, 根據Lindelöf覆蓋定理他們存在可數子覆蓋, 不難驗證選出的可數子覆蓋滿足“局部有限”的條件, 之后的證明都如願以償. $\square$
下面我們來介紹“光滑”版本的延拓定理。
定理(子流形延拓定理). 對於流形$M$, 子流形$N\subseteq M$上的光滑函數可以延拓到$M$上.
證明. 假設光滑函數是$f$. 在某一點附近$U$可以選擇坐標卡使得$N$的坐標恰好是$M$坐標前幾位(因為子流形要求非退化, $N$的坐標切映射可以延拓成一組基), 這樣局部就得以延拓, 假設延拓為$f_U$. 將這些局部收集起來得到$U_i$. 作單位分拆$\{\varphi_j\}$, 則在$\operatorname{supp}\varphi_j\subseteq U_i$對某個$i$, 作$g_i=\varphi_if_U$, 這是一個定義在整個$M$上的光滑函數, 再做$g=\sum g_i$, 這就為所求的光滑函數. $\square$
至此，可以我們可以說擴張定理的根基是Urysohn引理，Urysohn引理是擴張定理的特殊情況，粗略來說Urysohn引理得到的函數就是連續（光滑）函數大背景下是對特征函數的替代，通過特征函數組成簡單函數（即他們的和）來逼近函數是一種約化的簡單方法，問題簡單化之后變得能夠解決，同樣的思想還被用於證明Riesz表示定理。Urysohn引理的進一步“用法”就是用於局部緊空間，給一個鄰域“搭台唱戲”，這樣導出的單位分拆得將局部的函數“連成一片”，盡管他們在相交處可能是不同的，這足以看到單位分拆是微分流形上關於函數（更廣泛來說是場）的“局部-整體”原理，而如解析函數一類則無此性質，這表明解析函數的剛性，這從側面反映出光滑函數雖然比連續函數要求稍高一些，但本質上還是足夠“柔軟”的。