快速求出n!的質因數的個數

一般做組合數的題目都要進行質因數的分解，我們一般是for循環對每個數進行質因數分解，大多數情況都不會超時，但極少數的情況下，題目會不允許這樣的做法，所以我們需要學會一種更快的方法來求質因數。

我們一般的方法是對每個數進行質因數分解：

 

inline void calc(int x,int val)
{
    int xx=x;
    for(int i=2;i*i<=xx;i++)
    {
        while(x%i==0)//不斷進行除法，找出多少的當前的質數
        {
            c[i]+=val;x/=i;
        }
        if(x==1)break;
    }
    if(x>1)c[x]+=val;//如果剩下的數也是個質數，那么這個質數也要加上val
}

 

但如果想要更快的分解，我們可以直接對n！進行分解：

首先先進行素數篩選，得出素數表

然后進行如下操作：

 

inline long long calc(int n,int x)//x表示想要求的質數,函數的作用是求出x的個數,n表示要求的n!(例:n=8表示8!)
{   long long cnt=0;
    for(long long i=x;i<=n;i*=x)//為了防止i的溢出,所以我們要開long long
      {cnt+=n/i;    
            } 
    return cnt;
    }   

 

我們來一個樣例說明一下：

1  2  3  4  5  6  7  8         我們求得在8！中2的個數

     1      1      1      1         首先我們先計算出2的倍數的個數：8/2=4

            1              1         其次我們計算出4的倍數的個數：    8/4=2（上面一個式子求出了第一層，現在求第二層）

                            1         最后我們解出第三層的2的個數：    8/8=1

我們把4+2+1=7，所以一共7個2出現了。

 即：cnt(x)=[n/(x^1)]+[n/(x^2)]+[n/(x^3)]+...(直到x的次方大於n)

到這里我們可以發現：我們平時求的方法是一列一列求的（就是每一個數算一遍），而這個方法我們每一行每一行的求，雖然效果一樣，但求起來速度很快。值得學習。

故做法：

　　1.先把素數表打好

　　2.for循環把小於n的每個質數進行一次運算，用數組記錄

　　3.結束

非常快。