Description
輪狀病毒有很多變種，所有輪狀病毒的變種都是從一個輪狀基產生的。一個N輪狀基由圓環上N個不同的基原子
和圓心處一個核原子構成的，2個原子之間的邊表示這2個原子之間的信息通道。如下圖所示:
N輪狀病毒的產生規律是在一個N輪狀基中刪去若干條邊，使得各原子之間有唯一的信息通道，例如共有16個不
同的3輪狀病毒，如下圖所示:
現給定n(N<=100)，編程計算有多少個不同的n輪狀病毒。
Input
第一行有1個正整數n。
Output
計算出的不同的n輪狀病毒數輸出。
Sample Input
3
Sample Output
16
這里是題目鏈接：[BZOJ]1002:輪狀病毒
這里是題解：
方法一：【打表找規律】
先暴力求出一部分答案：
這里是暴力打表代碼：
暴力打表#include<cstdio> #include<cstring> #include<iostream> #include<algorithm> #define M 110 using namespace std; struct abcd{ int to,next; bool ban; }table[M<<2]; int head[M],tot=1; int n,ans; void Add(int x,int y) { table[++tot].to=y; table[tot].next=head[x]; head[x]=tot; } int fa[M],v[M],q[M],r,h; bool BFS() { int i; r=h=0; memset(v,0,sizeof v); memset(fa,-1,sizeof fa); q[++r]=0; while(r!=h) { int x=q[++h]; for(i=head[x];i;i=table[i].next) if(!table[i].ban) { if(table[i].to==fa[x]) continue; if(v[table[i].to]) return 0; fa[table[i].to]=x; v[table[i].to]=1; q[++r]=table[i].to; } } if(r<=n) return 0; return 1; } void DFS(int x) { if(x+x>tot) { if( BFS() ) ++ans; return ; } table[x<<1].ban=table[x<<1|1].ban=0; DFS(x+1); table[x<<1].ban=table[x<<1|1].ban=1; DFS(x+1); } int main() { int i; for(int j=1;j<=12;j++){ memset(head,0,sizeof head); tot=1;ans=0; n=j; for(i=1;i<=n;i++) Add(0,i),Add(i,0),Add(i,i%n+1),Add(i%n+1,i); DFS(1); cout<<ans<<' '; }printf("\n"); return 0; }
打出1-15的表（like this）：
1 5 16 45 121
320 841 2205 5776 15125
39601 103680 271441 710645 1860496
Process exited after 48.06 seconds with return value 0
想將所有表打出來估計是不可能的事情，所以需要找規律。
這里是規律：
1 5 16 45 121 320 841 2205 5776 15125 39601 103680 271441 710645 1860496【1-15的答案】
第1、3、5、7...[奇數位]位是平方數 ：
1*1 4*4 11*11 29*29 76*76 199*199 521*521...
第2、4、6、8...[偶數位]位除以5后也是平方數：
5*1*1 5*3*3 5*8*8 5*21*21 5*55*55 5*144*144 ...
【最美妙的事情發生了】：
奇數位：1 3 4 7 11 18 29 47 76...[粗體為原奇數位的算術平方根]
偶數位：1 2 3 5 8 13 21 34 55...[粗體為原偶數位除以5后的算術平方根]
（這個就屬於改版的斐波拉契數列，只是初始值不一樣）
然后求【改版斐波拉契數列】的值就行了。(但是要注意高精度！)
這里是推薦內容：
其實一般情況下還是很難看出來這個是改版斐波拉契數列的間隔值。
所以這里【傾情】推薦一個網站：Wolframalpha
這里輸入之前打表的值：
然后這里就可以看見更多的值：
兩三次【More】之后，基本上就有100個數了，然后就可以直接暴力打表。
【但是考場上不能用so sad :( 】
附：其實網上還流傳了一種用這些打表出來的數：1 5 16 45 121 320 841 2205 5776 ……
得出了一個遞推式：a[i]=a[i-1]*3-a[i-2]+2 ，用這個式子同樣能夠得出答案。
當然這個只是在[亂搞]，找規律一般只使用於時間不夠或者真的推不出來遞推式的情況！
這里是找規律的代碼：
#include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> #include <iostream> using namespace std; struct Num { int a[1111],len; void Print() { for (int i=len-1;i>=0;i--) printf("%d",a[i]); printf("\n"); } }a[111],b[111]; int n; Num operator ^ (Num n,int b) { for (int i=0;i<n.len;i++) n.a[i]*=b; for (int i=0;i<n.len;i++) { n.a[i+1]+=n.a[i]/10; n.a[i]%=10; } while (n.a[n.len]!=0) { n.a[n.len+1]+=n.a[n.len]/10; n.a[n.len]%=10; n.len++; } return n; } Num operator * (Num a,Num b) { Num c; c.len=a.len+b.len; memset(c.a,0,sizeof c.a); for (int i=0;i<a.len;i++) for (int j=0;j<b.len;j++) c.a[i+j]+=a.a[i]*b.a[j]; for (int i=0;i<c.len;i++) { c.a[i+1]+=c.a[i]/10; c.a[i]%=10; } while (c.a[c.len-1]==0) c.len--; return c; } Num operator - (Num a,Num b) { for (int i=0;i<b.len;i++) a.a[i]-=b.a[i]; for (int i=0;i<a.len;i++) if (a.a[i]<0) { a.a[i]+=10; a.a[i+1]--; } while (a.a[a.len-1]==0) a.len--; return a; } void eq(Num &a,Num b) { a.len=b.len; for (int i=0;i<a.len;i++) a.a[i]=b.a[i]; } int main() { scanf("%d",&n); a[1].a[0]=1,a[2].a[0]=4; b[1].a[0]=1,b[2].a[0]=3; a[1].len=a[2].len=b[1].len=b[2].len=1; for (int i=3;i<=n;i++) { eq(a[i],(a[i-1]^3)-a[i-2]); eq(b[i],(b[i-1]^3)-b[i-2]); } Num ans; if (n%2==1) eq(ans,a[(n+1)/2]*a[(n+1)/2]); else eq(ans,b[n/2]*b[n/2]^5); ans.Print(); return 0; }
方法二：【基爾霍夫矩陣】
這里是預備知識：
這個題是求兩兩之間只有一條直接或間接路徑（沒有環，形成一棵樹）的方案數。
一個專有名詞叫做：【生成樹計數】
生成樹計數:通常情況是由Kirchhoff's Matrix-Tree Theorem（基爾霍夫矩陣矩陣樹定理）求解。
基爾霍夫矩陣：也叫導納矩陣、拉普拉斯矩陣或離散拉普拉斯算子。
給定一個有n個頂點的圖G，它的拉普拉斯矩陣
定義為: L=D-A
其中：D矩陣叫做【度矩陣】；A矩陣叫做【鄰接矩陣】
什么是度矩陣？
對於這種【無向圖】，每一個點的度就是它連邊的個數
【for example】：4的度數就是3（和3，5，6連邊）
用這些度構成度矩陣：
僅當矩陣中【 i==j 】時D[i][j]才有值：此時D[i][j] = i 號點的度數
如果【 i！=j 】，D[i][j]就賦值為0.
所以上面這個圖的度矩陣為：
什么是鄰接矩陣？
當 i 號點和 j 號點有連邊的時候，將A[i][j]=1，A[j][i]=1;（雙向邊）
其余 i、j 沒有連邊的 A[i][j]=0；
【當 i==j 時，A[i][j]=0 】
例子的鄰接矩陣為：
所以基爾霍夫矩陣【 L=D-A 】為：
現在已經求得基爾霍夫矩陣，那么
Kirchhoff's Matrix-Tree Theorem（基爾霍夫矩陣矩陣樹定理）又是什么呢？
基爾霍夫矩陣C的任意余子式Mij,Mij的行列式的值就是圖G的生成樹個數。
這里是大神博客：生成樹計數問題——矩陣樹定理及其證明
（證明見這位大神博客，蒟蒻表示不會證明這個，只會用ORZ）
什么是余子式？
簡單來說就是：一個行列式的余子式Mij就是去掉aij所在的行和列。
M23的余子式就是：
（這里第三行刪掉了，第三列也刪掉了）
這里是本題真正的題解：
首先，根據以上條件，對於該圖構造基爾霍夫矩陣。
（刪除中心原點的行和列，設n為圈上的點的個數）
對角線aij表示與該點相連的個數。
如果i點和j點有連邊，那么aij就賦值為-1.
（對於第一排和最后一排，因為這個圖是一個圓圈，所以n與1相連）
然后計算出這個行列式的值就是本題的答案了，將該答案設為g[n]。
這里是計算過程：
方法①：高斯消元 O(n^3) 大概可以過吧，沒寫過ORZ。
方法②：利用行列式的性質推導。
（這里有一張大圖，是推導全過程，結合此圖瀏覽下列題解能更方便理解）
建議保存本圖，然后用畫圖工具打開，邊看圖，邊理解博客。
預備知識：（建議先了解行列式的各種性質）
對於本題，這里主要用兩個性質：
1.n階行列式，按行列展開。
展開方法：行列式等於它的任意一行（列）的各元素與其對應的代數余子式乘積之和。
即：
代數余子式的計算方法：對於一個4階行列式的余子式M23.
其代數余子式A23=M23*（-1）^(2+3)=-M23
所以公式為：Aij=Mij*（-1）^（i+j）
2.三角行列式的計算：主對角線以上的部分全為0。
注：建議先熟悉行列式的各種性質。
現在，將本題的行列式按最后一行展開。
最后一行第一項展開為：（為了之后方便，將其設為①號式子[n-1階行列式]）
最后一行倒數第二項展開為：（為了之后方便，將其設為②號式子[n-1階行列式]）
最后一行最后一項展開為：（為了之后方便，將其設為③號式子[n-1階行列式]）
因為③號式子形式特別，現將對角線為3，然后兩邊為-1的式子設為f[i]。
所以③號式子設為f[n-1].(注意這里和之前的基爾霍夫矩陣不一樣，因為這里a1n、an1不再為-1)
原式=①號+②號+③號
對於①號式子：按第一行展開。
①號式子第一項展開得到下列式子[n-2階式子]：
明顯運用之前提到的性質2，可以求出，該式子的值為：（-1）^(n-1)
①號式子最后一項得到下列式子[n-2階式子]：
明顯這個矩陣就像f函數的矩陣形式。
所以①號式子的值可以表示為：-1-f[n-2]
對於②號式子：按最后一列展開。（注意是列）
②號式子按最后一列第一項展開得到下列式子[n-2階式子]：
根據三角行列式計算方法，得到該行列式的值為：-1
②號式子按照最后一項展開得到下列式子[n-2階式子]：
明顯形式又是相同的，所以該行列式的值可以表示為：-f[n-2]
所以②號式子的值為：-f[n-2]-1
而對於③號式子：
本身形式相同，所以表示為：3*f[n-1]
綜上g[n]=①+②+③=-1-f[n-2]-f[n-2]-1+3*f[n-1]=3*f[n-1]-2*f[n-2]-2
現在就要求出f函數之間的關系：
對於無系數的③號式子：按照最后一行展開。
倒數第二項展開為：（為了之后方便，將其設為④號式子[n-2]階行列式]）
最后一項展開為：（[n-2]階行列式）
明顯這個形式就是之前的f函數，所以可以表示為:3*f[n-2].
對於④號式子：按照最后一行展開。
倒數第二項展開：
因為這個行列式中有一列為0，按照行列式的定義，它的值為0.
最后一項展開：（[n-3]階行列式）
這個行列式的值就可以表示為：-f[n-3].
所以④號式子的值為：-f[n-3].
根據③號式子、④號式子：可以得出f[n-1]=3*f[n-2]-f[n-3]
現在有兩個式子：
g[n]=3*f[n-1]-2*f[n-2]-2
f[n]=3*f[n-1]-f[n-2]
如何將它化成一個只有g函數的遞推式：
首先g函數與f函數的關系式為：g[i]=3*f[i-1]-2*f[i-2]-2
因為3*f[i-1]=9*f[i-2]-3*f[i-3]
且3*g[i-1]=9*f[i-2]-6*f[i-3]-6
所以（用g[i-1]來替代f[i-1]）
g[i]=3*g[i-1]+3*f[i-3]+6-2*f[i-2]-2
=3*g[i-1]+3*f[i-3]-2*f[i-2]+4
又因為-2*f[i-2]=-6*f[i-3]+2*f[i-4]
所以（將g[i]中的f[i-2]展開）
g[i]=3*g[i-1]+3*f[i-3]-6*f[i-3]+2*f[i-4]+4
=3*g[i-1]-3*f[i-3]+2*f[i-4]+4
又因為:-g[i-2]=-3*f[i-3]+2*f[i-4]-2
所以：g[i]=3*g[i-1]-g[i-2]+2
g函數的初值：
g[1]=1、g[2]=5
這里是最終代碼（注意高精度！）：
#include<iostream> #include<cstdio> using namespace std; struct data{ int a[101],len; }; int n; data mul(data a,int k) { for(int i=1;i<=a.len;i++) a.a[i]*=k; for(int i=1;i<=a.len;i++) { a.a[i+1]+=a.a[i]/10; a.a[i]%=10; } if(a.a[a.len+1]!=0)a.len++; return a; } data sub(data a,data b) { a.a[1]+=2; int j=1; while(a.a[j]>=10){a.a[j]%=10;a.a[j+1]++;j++;} for(int i=1;i<=a.len;i++) { a.a[i]-=b.a[i]; if(a.a[i]<0){a.a[i]+=10;a.a[i+1]--;} } while(a.a[a.len]==0)a.len--; return a; } int main() { data f[101];f[1].a[1]=1;f[2].a[1]=5; f[1].len=f[2].len=1; scanf("%d",&n); for(int i=3;i<=n;i++) f[i]=sub(mul(f[i-1],3),f[i-2]); for(int i=f[n].len;i>0;i--) printf("%d",f[n].a[i]); return 0; }
這里還有一種大犇的證明：1002: [FJOI2007]輪狀病毒 （值得一看orz）
夢想總是要有的，萬一實現了呢？