最大上升子序列，最大下降子序列，最大非增子序列，最大非減子序列

For example,{1,5,2,4,3,5,6,4,7}的最大上升子序列是{1,2,3,5,6,7}長度為6

現已知原序列a[]，如何求其最大上升子序列，最大下降子序列，最大非增子序列，最大非減子序列的長度？
下面貼出兩種方法：1.dp, 2.貪心+二分

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream> 
#include<algorithm>
using namespace std;

#define maxn 1000
const int inf=1<<30;
int a[maxn];//原序列 


int dp[maxn];//dp[i]代表以a[i]結尾的最大非增子序列 
int lnip1(int n) //動態規划，時間復雜度O(n2) 
{
	for(int i=0;i<n;i++)
	dp[i]=1;
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		for(int j=0;j<i;j++)
		{
			if(a[j]>=a[i])//最大非增子序列，若改為a[j]>a[i],即為最大遞減子序列 
			{
				dp[i]=max(dp[j]+1,dp[i]);
			}
		}
	}
	int ans=0;
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		ans=max(ans,dp[i]);
	}
	return ans;
	
 } 



 
 int b[maxn];//b[k] 記錄前i個數中的長度為k的所有子序列中最后一位最小的值，b數組一定有序 
 int lndp(int n)//最大非遞減子序列長度，時間復雜度O(nlogn) 
 {
 	for(int i=0;i<=n+1;i++)
 	b[i]=inf;
 	for(int i=0;i<n;i++)
 	{
 	    int pos=lower_bound(b,b+i+1,a[i])-b;//如果是嚴格遞增(lip)用upper_bound 
 		b[pos]=a[i];
	 }
	 int ans;
	 for(ans=0;b[ans]!=inf;ans++);
	 return ans;
	//如果題目要求求最大非遞增子序列(lnip)長度，只需先把數組反過來，再求lndp即可，最大遞減類似 
 }
 
 int main()
 {
 	int n;
 	cin>>n;
 	for(int i=0;i<n;i++)
 	cin>>a[i];
 	cout<<lnip1(n)<<endl;
 	cout<<lndp(n);
 }

第一種方法比較簡單，不做過多詳解_

下面詳解第二種貪心+二分，時間復雜度位O(nlongn)的算法（注意：下面以嚴格上升子序列為例，請把上面代碼中的lower_bound換成upper_bound)：

首先，

b[maxn] b[k] 記錄前i個數中的長度為k+1的所有上升子序列中最后一位最小的值
記錄下最后一位最小的值，是為了能有更大的上升空間
比如序列{1，3，2，3，4}
前三個數{1，3，2}中長度為2的上升子序列有{1，3}和{1，2}，分別對應的b[1](長度為1+1=2的上升子序列的最后一位的值）為3，2，明顯，選2這個較小的可以給后面的序列留下更多的上升空間，選2可以是{1，2，3，4}而選3只能是{1，3，4}，b[k]的值盡可能小，
這就是其貪心的思想
b數組一定是嚴格上升的，因為長度為i的最后一位最優不可能比長度為i-1的最后一位小。
既然b數組是有序的，接下來就能用二分的方法了
先將b的元素最大化，然后將將原序列a的元素一個一個插入到b中合適的位置--b中第一個大於a[i]的位置，這樣如果a[i]能夠大於b[k]說明a[i]能夠放在b[k]（其實是b[k]的值對應的原序列元素）的后面，而到了第一個大於a[i]的位置，
假設那個位置x上的的值為y(y可以為inf),a[x]=y>a[i],再根據上面貪心的思想，何不把結尾換為更小的值a[i]呢，即b[x]=a[i];
這樣插入完所有的a[i](其實就是將a[i]插在能以它為結尾的最大子序列長度的位置上），一重循環到最后一個b[i]!=inf,然后這個i+1就是最大上升子序列的長度

 接下來再以{1,5,2,4,3,5,6,4,7}為例，畫個圖讓大家理解理解：

 （字有點差，勿噴）