最大和子數組/最大和子序列

　　最大和子數組是數組中和最大的子數組，又名最大和子序列。子數組是數組中連續的n個元素，比如a₂,a₃,a₄就是一個長度為3的子數組。顧名思義求最大和子數組就是要求取和最大的子數組。

　　

　　n個元素的數組包含n個長度為1的子數組：{a₀}，{a₁}，…{a_n-1}；

　　n個元素的數組包含n-1個長度為2的子數組：{a₀,a₁}，{a₁,a₂}，{a_n-2,a_n-1}；

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　　n個元素的數組包含1個長度為n的子數組：{a₀,a₁,…,a_n-1}；

　　所以，一個長度為n的數組包含的子數組個數為n+(n-1)+…+1=n*(n-1)/2。

　　第一反應就是蠻力法，窮舉數組所有子數組的和並求出和的最大值。這種方法簡單直觀容易想到，具體又有幾種不同的思路。第一種方法是先求出所有長度為1的子數組的和，再求長度為2的子數組的和，以此類推，直到求出所有長度為n的子數組的和，並在求子數組和的過程中記錄和的最大值。偽代碼如下：

maxSum=arr[0];//maxSum記錄最大子數組和

for（i=1,i<=n;i++){//子數組長度

　　for(j=0;j<n;j++){//子數組開始的位置（數組下標）

　　　　sum=0;//sum記錄當前子數組和

　　　　for(k=j;k<n&&k<j+i;k++){//求和

　　　　　　sum+=arr[k];

　　　　}

　　　　if(sum>maxSum) maxSum=sum;

　　}

}

　　第二種方法是先求所有以a[0]開始的子數組的和，再求所有以a[1]開始的子數組的和，以此類推，直到最后求出所有以a[n-1]開始的子數組的和，並在求子數組和的過程中記錄和的最大值。偽代碼如下：

int maxSubArraySum(int *arr,int n){

　　int i,j,maxSum=arr[0],sum;

　　for(i=0;i<n;i++){//子數組開始位置

　　　　sum=0;

　　　　for(j=i;j<n;j++){//以arr[i]開始的不同長度的子數組的和，求和是一個遞進過程

　　　　　　sum+=arr[j];

　　　　　　if(sum>maxSum) maxSum=sum;

　　　　}　　　　

　　}

　　return maxSum;

}

　　蠻力法雖然可以求得問題的解，但蠻力法通常不是我們所希望的，其時間復雜度大。我們希望找到一 種更有效的方法來解決該問題，所以需要思考問題具有的特征，拿到問題就開始寫代碼是最忌諱的，代碼前需要三思。最大和子數組一定以數組中的某個元素a[i](0<=i<n)結束，那么我們可以先分別求出以每個元素結尾的子數組的最大和，其中的最大值就是所求的最大子數組和。后一個元素的求和需要用到前一個元素的結果，遞推公式為maxSumEnd[i]=max{maxSumEnd[i-1]+a[i]，a[i]}，代碼如下：

int maxSumArraySumD(int *arr,int n){
　　int i,maxSum=arr[0];
　　int *maxSumEnd;
　　maxSumEnd=(int*)malloc(sizeof(int)*n);
　　maxSumEnd[0]=arr[0];
　　for(i=1;i<n;i++){
　　　　if(maxSumEnd[i-1]+arr[i]>arr[i])

　　　　　　maxSumEnd[i]=maxSumEnd[i-1]+arr[i];
　　　　else

　　　　　　maxSumEnd[i]=arr[i];

　　　　if(maxSumEnd[i]>maxSum)

　　　　　　maxSum=maxSumEnd[i];
　　}
　　free(maxSumEnd);
　　return maxSum;
}

　　這道題目如果我們能聯想到一些數學知識就可以得到更簡潔的答案，優秀的程序猿一定具有很厚的數學基礎和敏捷的數學思維，但有很厚數學基礎和敏捷數學思維的人不一定就是程序猿，歷史證明無數優秀的數學家都變成了經濟學家，計算機這個專業學到后面也就剩英語和數學了，華爾街那幫吸血鬼個個都是數學怪才。

　　一個數加上一個負數和會變小，一個數加上0和保持不變，一個數只有加上一個正數和才會變大。如果最大和子數組為a[i]，a[j]，a[k]，那么一定有a[i]+a[j]>0，如果a[i]+a[j]<=0，那么最大和子數組就是a[k]。因此，我們可以從a[0]累加求和，只要累加的和大於0就繼續向后累加，如果累加的和小於0，那就舍棄掉，從下一個元素從新開始累加，並在累加過程中記錄和的最大值。代碼如下：

int maxSubArraySum(int *arr,int n){
　　int i,maxSum=arr[0],sum=0;
　　for(i=0;i<n;i++){
　　　　sum+=arr[i];
　　　　if(sum>maxSum){ //記錄最大累加和
　　　　　　maxSum=sum;
　　　　}
　　　　if(sum<0){//累加和小於0舍棄
　　　　　　sum=0;
　　　　}
　　}
　　return maxSum;
}

　　或許還需給出最大和子數組，那么要在求最大和子數組的過程中記錄最大和子數組的起始位置。代碼如下：

int maxSubArraySumPos(int *arr,int n){
　　int i,maxSum=arr[0],sum=0;
　　int start=0,end=0,s=0,e=0;
　　for(i=0;i<n;i++){
　　　　sum+=arr[i];
　　　　if(sum>maxSum){
　　　　　　maxSum=sum;
　　　　　　e=i;
　　　　　　start=s;
　　　　　　end=e;
　　　　}
　　　　if(sum<0){
　　　　　　sum=0;
　　　　　　s=i+1;
　　　　　　e=i+1;
　　　　}
　　}
　　printf("start=%d end=%d\n",start,end);
　　return maxSum;
}

　　羅馬之路不順暢，大俠們不要吝嗇自己的武功秘籍，評論區為各位大俠所留。