python實現連續子數組的最大和

題目描述

HZ偶爾會拿些專業問題來忽悠那些非計算機專業的同學。今天測試組開完會后,他又發話了:在古老的一維模式識別中,常常需要計算連續子向量的最大和,當向量全為正數的時候,問題很好解決。但是,如果向量中包含負數,是否應該包含某個負數,並期望旁邊的正數會彌補它呢？例如:{6,-3,-2,7,-15,1,2,2},連續子向量的最大和為8(從第0個開始,到第3個為止)。給一個數組，返回它的最大連續子序列的和，你會不會被他忽悠住？(子向量的長度至少是1)

 方法一：窮舉法

我們很自然地能想到窮舉的辦法，窮舉所有的子數組的之和，找出最大值。

i, j的for循環表示x[i..j]，k的for循環用來計算x[i..j]之和。

# -*- coding:utf-8 -*-
class Solution:
    def FindGreatestSumOfSubArray(self, array):
        # write code here
        maxsofar = 0
        for i in range(0,len(array)):
            for j in range(i,len(array)):
                presum = 0
                for k in range(i,j):
                    presum += array[k]
                maxsofar = max(maxsofar, presum)
        return maxsofar
#bug:不適合最大的<0的情況。
#例如：[-2,-8,-1,-5,-9]
# 對應輸出應該為:-1
# 你的輸出為:0

 有三層循環，窮舉法的時間復雜度為O（n³）。

對窮舉法的改進1：

我們注意到x[i..j]之和 = x[i..j-1]之和 + x[j]，因此在j的for循環中，可直接求出sum。

# -*- coding:utf-8 -*-
class Solution:
    def FindGreatestSumOfSubArray(self, array):
        # write code here
        maxsofar = 0
        for i in range(0,len(array)):
            presum = 0
            for j in range(i,len(array)):
                presum += array[j]
                maxsofar = max(maxsofar, presum)
        return maxsofar
#bug:不適合最大的<0的情況。
#例如：[-2,-8,-1,-5,-9]
# 對應輸出應該為:-1
# 你的輸出為:0

改進之后的時間復雜度變為o（n ²）

對窮舉法的改進2

在計算fibonacci數時，應該還有印象：用一個累加數組（cumulative array）記錄前面n-1次之和，計算當前時只需加上n即可。同樣地，我們用累加數組cumarr記錄：cumarr[i] = x[0] + . . . +x[i]，那么x [i.. j]之和 = cumarr[j] -cumarr[i - 1]。

cumarr[-1] = 0
for i = [0, n)
    cumarr[i] = cumarr[i-1] + x[i]
    
maxsofar = 0
for i = [0, n)
    for j = [i, n)
        sum = cumarr[j] - cumarr[i-1]
        /* sum is sum of x[i..j] */
        maxsofar = max(maxsofar, sum)

時間復雜度為o（n²）

方法二：舉例分析數組的規律

思路：

最大和連續子數組一定有如下幾個特點：

1. 第一個不為負數
2. 如果前面數的累加值加上當前數后的值會比當前數小，說明累計值對整體和是有害的；如果前面數的累加值加上當前數后的值比當前數大或者等於，則說明累計值對整體和是有益的。

步驟：

1、定義兩個變量，一個用來存儲之前的累加值，一個用來存儲當前的最大和。遍歷數組中的每個元素，假設遍歷到第i個數時：
　　①如果前面的累加值為負數或者等於0，那對累加值清0重新累加，把當前的第i個數的值賦給累加值。
　　②如果前面的累加值為整數，那么繼續累加，即之前的累加值加上當前第i個數的值作為新的累加值。
2、判斷累加值是否大於最大值：如果大於最大值，則最大和更新；否則，繼續保留之前的最大和。

# -*- coding:utf-8 -*-
class Solution:
    def FindGreatestSumOfSubArray(self, array):
        # write code here
        sum = array[0]
        presum = 0
        for i in array:
            if presum < 0:
                presum = i
            else:
                presum += i
            sum = max(presum,sum)
        return sum

 

 

 

 分治法，動態規划，未完待續