面試題31：連續子數組的最大和

題目：輸入一個整型數組，數組里有正數也有負數。數組中一個或連續的多個整數組成一個子數組。求所有子數組的和的最大值。要求時間負責度為O(n)。

看到這個題目，我們首先想到的是求出這個整型數組所有連續子數組的和，長度為n的數組一共有 n(n+2)/2個子數組，因此要求出這些連續子數組的和最快也需要O(n^2)的時間復雜度。但是題目要求的O(n)的時間復雜度，因此上述思路不能解決問題。

看到O(n)時間復雜度，我們就應該能夠想到我們只能對整個數組進行一次掃描，在掃描過程中求出最大連續子序列和以及子序列的起點和終點位置。假如輸入數組為{1,-2,3,10,-4,7,2,-5}，我們嘗試從頭到尾累加其中的正數，初始化和為0，第一步加上1，此時和為1，第二步加上-2，此時和為-1，第三步加上3，此時我們發現-1+3=2，最大和2反而比3一個單獨的整數小，這是因為3加上了一個負數，發現這個規律以后我們就重新作出累加條件：如果當前和為負數，那么就放棄前面的累加和，從數組中的下一個數再開始計數。

代碼實例：

#include<iostream>
#include<stdlib.h>
using namespace std;

//求最大連續子序列和
int FindGreatestSumOfSubArray(int arry[],int len)
{
    if(arry==NULL||len<=0)
        return -1;
    int start=0,end=0;//用於存儲最大子序列的起點和終點
    int currSum=0;//保存當前最大和
    int greatestSum=-10000;//保存全局最大和
    for(int i=0;i<len;i++)
    {
        if(currSum<0)//如果當前最大和為負數，則舍棄前面的負數最大和，從下一個數開始計算
        {
            currSum=arry[i];
            start=i;
        }
        else
            currSum+=arry[i];//如果當前最大和不為負數則加上當前數
        if(currSum>greatestSum)//如果當前最大和大於全局最大和，則修改全局最大和
        {
            greatestSum=currSum;
            end=i;
        }
    }
    cout<<"最大子序列位置:"<<start<<"--"<<end<<endl;
    return greatestSum;
}



void main()
{
    int arry[]={1,-2,3,10,-4,7,2,-5};
    int len=sizeof(arry)/sizeof(int);
    //cout<<len<<endl;
    int sum= FindGreatestSumOfSubArray(arry,len);
    cout<<"最大子序列和："<<sum<<endl;

    system("pause");
}

 更正連續子序列位置錯誤的問題（PS:2012-8-10）

經過@Yu's 技術生涯 測試，發現我上面的代碼確實存在問題，現在做了如下修改：

1. 1.添加了一個遍歷用於保存遍歷數組中發現的最大和的起始，原來的start和end只用於保存真是的開始於結尾。
2. 2.當currSum<0的時候，我們只讓p值為最大和子數組的開始
3. 3.在最后判斷currSum>greatestSum的時候，只有當currSum>greatestSum成立，才讓start=p，否則就表明以p開頭的子數組最大和不是最大的。

示例代碼如下：

#include<iostream>
#include<stdlib.h>
using namespace std;

//求最大連續子序列和
int FindGreatestSumOfSubArray(int arry[],int len)
{
    if(arry==NULL||len<=0)
        return -1;
    int start=0,end=0;//用於存儲最大子序列的起點和終點
    int p=0;//指針，用於遍歷數組。
    int currSum=0;//保存當前最大和
    int greatestSum=-10000;//保存全局最大和
    for(int i=0;i<len;i++)
    {
        if(currSum<0)//如果當前最大和為負數，則舍棄前面的負數最大和，從下一個數開始計算
        {
            currSum=arry[i];
            p=i;
        }
        else
            currSum+=arry[i];//如果當前最大和不為負數則加上當前數
        if(currSum>greatestSum)//如果當前最大和大於全局最大和，則修改全局最大和
        { 
            greatestSum=currSum;
            start=p;
            end=i;
        }
    }
    cout<<"最大子序列位置:"<<start<<"--"<<end<<endl;
    return greatestSum;
}



void main()
{
    //int arry[]={1,-2,3,10,-4,7,2,-5};
    int arry[]={1,-2,3,10,-4,7,2,-19,2};
    int len=sizeof(arry)/sizeof(int);
    //cout<<len<<endl;
    int sum= FindGreatestSumOfSubArray(arry,len);
    cout<<"最大子序列和："<<sum<<endl;

    system("pause");
}

使用動態規划方法（PS：2012-10-9）

解體思路：

如果用函數f(i)表示以第i個數字結尾的子數組的最大和，那么我們需要求出max(f[0...n])。我們可以給出如下遞歸公式求f(i)

這個公式的意義：

1. 當以第(i-1)個數字為結尾的子數組中所有數字的和f(i-1)小於0時，如果把這個負數和第i個數相加，得到的結果反而不第i個數本身還要小，所以這種情況下最大子數組和是第i個數本身。
2. 如果以第(i-1)個數字為結尾的子數組中所有數字的和f(i-1)大於0，與第i個數累加就得到了以第i個數結尾的子數組中所有數字的和。

代碼實現

//使用動態規划求最大連續子數組和
int FindGreatestSumOfSubArray2(int arry[],int len,int c[])
{
    c[0]=arry[0];
    int start,end;
    int temp=0;
    int maxGreatSum=-100;
    for(int i=1;i<len;i++)
    {
        if(c[i-1]<=0)
        {
            c[i]=arry[i];
            temp=i;
        }
        else
            c[i]=arry[i]+c[i-1];
        if(c[i]>maxGreatSum)
        {
            maxGreatSum=c[i];
            start=temp;
            end=i;
        }
    }
    //輸出c[i]
    for(int i=0;i<len;i++)
        cout<<c[i]<<" ";
    cout<<endl;

    cout<<"最大子序列位置:"<<start<<"--"<<end<<endl;
    return maxGreatSum;
}

其實上述兩種方法的實現方式非常相似，只是解體思路不同而已。通常我們會使用遞歸的方式分析動態規划的問題，但是最終都會基於循環去寫代碼。在動態規划方法中創建了一個數組c[]用於存儲中間結果，而第一種方法中只需要一個臨時變量currSum.