【樹3】滿二叉樹、完全二叉樹、完美二叉樹

---------注：本文所用的術語定義均來自國外大學和計算機文獻使用的定義，非國內教材。層次編號從1開始-------------

滿二叉樹（Full Binary Tree）

定義：a binary tree T is full if each node is either a leaf or possesses exactly two child nodes.

大意：每一個結點要么度為0（是葉子結點），要么度為2（有2個孩子結點）。

圖例：

 

性質：如果T是一個非空滿二叉樹，則

(a) 如果有 N₂ 個 非葉子結點，則 葉子結點的個數 是 N₂+1

(b) 如果有 N₂ 個 非葉子結點，則總的結點數是 2N₂+1

(c) 如果總結點數是N ，則非葉子結點個數是 (N-1)/2

(d)  如果總結點數是N， 則葉子結點個數是 (N+1)/2

(e) 如果有N₀ 個葉子結點，則總結點數是2N₀-1

(f) 如果有N₀ 個葉子結點，則非葉子結點數是N₀-1

也就是說，在一個非空滿二叉樹中，只要你知道了 【總結點數 N ，葉子結點數N₀ ， 非葉子結點數 N₂ 】 三者之一，就可以推導出其它二者的值。

證明：

(a) 設度為2的結點（非葉子結點）個數為N₂，度為0的結點（葉子結點）個數為N₀，總結點數為N。邊有E條。

N₂+N₀ = N

N - 1 = L (樹的邊數比結點數少1)

2N₂ = L  ( 邊都是度為2的結點引出的，且引出2條 )

聯立得：N₀ = N₂+1

證明： 

(b) 

N₂+N₀ = N

N₀ = N₂+1  (   由(a)  可知  )

聯立得：N =2N₂+1

......

其余的都可以由（a）中的結論輕松推導出，不再贅述。

 

完全二叉樹（Complete Binary Tree）

定義：a binary tree T with n  levels is complete if all levels except possibly the last are completely full,and the last level has all its nodes to the left side.

大意：除了最后一層可能不是”滿的“，其它層都必須是”滿的“，且最后一層的結點都在左邊連續出現。

注意：

1、”滿的“意思是，這一層的節點數達到最大值。

2、最后一層可能不是”滿的“，說明可以存在是”滿的“情況，如果是這樣，那就是一個完美二叉樹。完美二叉樹是特殊的完全二叉樹。

通俗的說，完全二叉樹從root到 倒數第二層 之間形成是完美二叉樹，而最后一層可以不是”滿的“，也可以是”滿的“，如果不是”滿的“，則最后一層的結點必須靠左連續出現。

圖例：

 

性質：

1、總結點數是n，則有個非葉子結點（內部結點）

⌊ n / 2 ⌋ {\displaystyle \lfloor n/2\rfloor } 個內部結點。

2、總結點數是n，則層次數是

 

3、完全二叉樹可以使用數組來作為高效的存儲實現，因為完全二叉樹的邏輯關系可以通過結點的編號運算得來，且這種關系對於所有的完全二叉樹都是固定的。如果使用鏈式的，則需要浪費空間，訪問速度也不如數組。 下面給出運算規律：

給完全二叉樹的結點，從上到下，從左到右依次從0開始編號作為這個結點的索引，則：

 

如果i==0，則它是root結點。

如果i >0 ，則他的父結點的索引為:

 

如果 2*(i+1) > n ，則它無左孩子，那么他一定是葉子結點。

       2*(i+1) <=n ,  則他的左孩子的索引為  2i +1

 

如果 2*(i+1)+1 >  n，則他無右孩子。

        2*(i+1)+1 <=  n，則它的右孩子的索引為 2i+2

 

完美二叉樹

定義：A binary tree with all leaf nodes at the same depth. All internal nodes have degree 2.

大意：所有的非葉子結點的度都達到最大值2，葉子結點都在同一層，也就是最下層。

圖例：

 

任何一個完美二叉樹 既屬於滿二叉樹，也屬於完全二叉樹。因此它擁有滿二叉樹和完全二叉樹的所有性質

完美二叉樹從外觀上看他是一個等邊三角形。他的每一層都被填充滿。

 

性質

1、層數為k的完美二叉樹，其總結點數為 2^k  - 1    (k>=1)

2、第i層結點數是 2^(i-1)         (i>=1)

3、因為完美二叉樹既屬於完全二叉樹，因此可以使用數組來作為高效的存儲實現。