作者：謝啟鴻（復旦大學數學科學學院 教授、博士生導師）
高等代數是大學數學系本科生最重要的基礎課之一, 而考試命題工作又是整個教學過程中必不可少的關鍵環節. 如何做好高等代數的考試命題工作, 使得學生既能快樂考試, 同時考試結果又能真實地反饋學習情況和教學情況呢? 關於這一問題, 作者已在文 [3] 中進行了初步的探索, 而本文正是這一探索的深入與繼續.
復旦大學高等代數期中、期末考試試卷根據考察的內容可分為兩大部分, 一是以考察基本概念的理解和基本計算的掌握為主體的選擇題、填空題和計算題, 這部分大概占 70 分; 二是以考察重要理論、定理、方法和技巧的運用為主體的證明題, 這部分大概占 30 分. 從命題的角度來看, 基礎部分的命題可變度較小, 相對來說比較穩定; 而運用部分由於難度大、涉及面廣, 從而其命題的難度更大、靈活性更強. 因此, 本文主要闡述復旦大學數學科學學院代數組在高等代數期中、期末考試最后兩道壓軸題命題方面的相關經驗.
復旦大學高等代數教材 [1] 和學習指導書 [2] 在復旦大學數學系 (后成立數學科學學院) 沿用二十多年, 前后經歷數次修訂, 精益求精、與時俱進, 連續榮獲普通高等教育``十五''、``十一五''和``十二五''國家級規划教材. 緊緊依靠復旦教材和學習指導書, 不僅是課堂教學的基本要求, 也是考試命題的出發點. 我們在高等代數考試壓軸題命題方面的經驗是, 以復旦教材和學習指導書中豐富的習題作為命題的堅實基礎, 強調``以科研指導命題''、``教學與命題相互促進''和``堅持自主創新命題''等原則, 並以``自然延伸''、``適當推廣''、``逆向思維''和``直接應用''等方法進行高等代數的考試命題工作. 本文將以 2010 年至 2015 年復旦大學高等代數期中、期末考試試題以及每周一題 [4] 等為例題, 具體地闡述上述四種命題方法.
一、習題的自然延伸
我們經常考慮的問題是, 在教材習題相同的條件下, 哪些性質或結論可以得到自然的延伸呢? 從某種意義上說, 習題的自然延伸是最常見的命題方法之一.
例 1 (2014 級高等代數 II 期中考試第六大題) 設 $a_i\,(i=1,\cdots,n)$ 都是實數且 $a_1+a_2+\cdots+a_n=0$, 證明下列矩陣可對角化:
$$A=\begin{pmatrix} a_1^2+1 & a_1a_2+1 & \cdots & a_1a_n+1\\a_2a_1+1 & a_2^2+1 & \cdots & a_2a_n+1\\\vdots & \vdots & & \vdots\\a_na_1+1 & a_na_2+1 & \cdots & a_n^2+1\\\end{pmatrix}.$$
評注 教材 [1] 復習題六的第 11 題是在相同的假設下求 $A$ 的全體特征值, 而這道試題自然地延伸為證明 $A$ 可對角化.
例 2 (2011 級高等代數 II 期末考試第七大題) 設 $A$ 為 $n$ 階復方陣, $B=\begin{pmatrix} A & A^2 \\ A^2 & A \end{pmatrix}$ 為 $2n$ 階復方陣. 證明: 若 $A$ 可對角化, 則 $B$ 也可對角化.
評注 教材 [1] 復習題六的第 13 題是在相同的假設下, 由 $A$ 的全體特征值求 $B$ 的全體特征值, 而這道試題自然地延伸為由 $A$ 的可對角化證明 $B$ 的可對角化.
例 3 (2015 級高等代數 II 期末考試第七大題) 設 $A,B,C$ 分別為 $m\times m$, $n\times n$, $m\times n$ 階復矩陣, $M= \begin{pmatrix} A & C\\ 0 & B\\ \end{pmatrix}$ 可對角化, 求證: 矩陣方程 $AX-XB=C$ 必有解.
評注 學習指導書 [2] 的例 6.45 是在相同的假設下證明 $A,B$ 均可對角化, 而這道試題自然地延伸為證明對應的矩陣方程有解.
例 4 (2012 級高等代數 II 期末考試第七大題) 設 $A$ 為 $n$ 階實對稱陣, $S$ 為 $n$ 階非異的實反對稱陣且 $AS=SA$, 證明: $|A+S|>0$.
評注 教材 [1] 復習題八的第 26 題是把非異的條件加在 $A$ 上 (其他假設不變) 證明 $|A+S|\neq 0$, 而這道試題自然地延伸為, 若非異的條件加在 $S$ 上, 證明類似的結論也成立.
例 5 (2015 級高等代數 II 期中考試第六大題) 設 $\varphi$ 是數域 $K$ 上 $n$ 維線性空間 $V$ 上的線性變換, 其極小多項式為 $m(\lambda)$. 設 $\alpha$ 是 $V$ 中非零向量, 由 $\{\alpha,\varphi(\alpha),\varphi^2(\alpha),\cdots\}$ 張成的子空間 $C(\varphi,\alpha)$ 稱為 $\varphi$ 關於循環向量 $\alpha$ 的循環子空間. 證明: $m(\lambda)$ 為 $K$ 上的不可約多項式的充分必要條件是 $V$ 的任一非零 $\varphi$-不變子空間 $U$ 必為如下形式: $U=C(\varphi,\alpha_1)\oplus C(\varphi,\alpha_2)\oplus\cdots\oplus C(\varphi,\alpha_k)$,
並且 $\varphi|_{C(\varphi,\alpha_i)}\,(1\leq i\leq k)$ 的極小多項式都是 $m(\lambda)$.
評注 線性變換 $\varphi$ 的特征多項式 $f(\lambda)$ 是 $K$ 上不可約多項式的充分必要條件是 $\varphi$ 只有平凡的不變子空間, 這是一道考研試題, 而上述試題自然地延伸為證明 $\varphi$ 的極小多項式 $m(\lambda)$ 是 $K$ 上不可約多項式的充分必要條件.
二、習題的適當推廣
將教材習題中的某些條件適當地一般化 (弱化), 從而得到原習題結論的推廣, 這也是最常見的命題方法之一.
例 6 (2014 級高等代數 II 每周一題第 3 題) 設 $g(x)=x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n$ 是數域 $K$ 上的多項式, $\varphi$ 是 $K$ 上 $n$ 維線性空間 $V$ 上的線性變換, $\alpha_1\neq 0,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 是 $V$ 中的向量, 滿足 $$\varphi(\alpha_1)=\alpha_2,\,\varphi(\alpha_2)=\alpha_3,\,\cdots,\,\varphi(\alpha_{n-1})=\alpha_n,\,\varphi(\alpha_n)=-a_n\alpha_1-a_{n-1}\alpha_2-\cdots-a_1\alpha_n.$$ 證明: 若 $g(x)$ 在 $K$ 上不可約, 則 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 是 $V$ 的一組基.
評注 教材 [1] 復習題四的第 14 題是上述試題的特例, 其中 $g(x)=x^3-x-1$.
例 7 (2015 級高等代數 I 期末考試第八大題) 設 $\varphi$ 是數域 $K$ 上 $n$ 維線性空間 $V$ 上的線性變換, 其特征多項式 $f(\lambda)=P_1(\lambda)P_2(\lambda)\cdots P_k(\lambda)$, 其中 $P_i(\lambda)$ 是 $K$ 上互異的首一不可約多項式, 試求所有的 $\varphi$-不變子空間.
評注 教材 [1] 的習題 4.5.6 是上述試題的特例, 其中 $P_i(\lambda)$ 都是一次多項式.
例 8 (2010 級高等代數 II 期中考試第六大題) 設 $A$ 和 $B$ 分別為 $m\times n$ 和 $n\times m$ 階復矩陣, 其中 $m\geq n$. 若 $BA$ 可對角化且 $|BA|\neq 0$, 證明: $AB$ 也可對角化.
評注 教材 [1] 復習題七的第 3 題討論了秩等於 1 的矩陣 $A=\alpha\beta'$ 的 Jordan 標准形 (其中 $\alpha,\beta$ 為非零列向量), 作為結論我們知道: $A=\alpha\beta'$ 可對角化當且僅當 $tr(A)=\beta'\alpha\neq 0$, 因此上述試題是這一結論的高階推廣.
例 9 (2015 級高等代數 II 期末考試第六大題) 設 $n$ 階復方陣 $A$ 的特征多項式為 $f(\lambda)$, 復系數多項式 $g(\lambda)$ 滿足 $(f(g(\lambda)),g'(\lambda))=1$, 證明: 存在 $n$ 階復方陣 $B$, 使得 $g(B)=A$.
評注 學習指導書 [2] 的例 7.44 是上述試題的特例, 其中 $g(\lambda)=\lambda^m$.
例 10 (2015 級高等代數 II 思考題第 16 題)
(1) 設 $A$ 為 $n$ 階正定實對稱陣, 證明: 對任意的 $x\in\mathbb{R}^n$, 成立 $0\leq x'(A+xx')^{-1}x<1$; 進一步, 對任意的 $B\in M_{n\times m}(\mathbb{R})$, 成立 $0\leq |B'(A+BB')^{-1}B|<1$;
(2) 設 $A$ 為 $n$ 階半正定實對稱陣, 證明: 存在 $x\in\mathbb{R}^n$, 使得 $A+xx'$ 正定且 $x'(A+xx')^{-1}x=1$ 的充要條件是 $r(A)=n-1$; 進一步, 存在 $B\in M_{n\times m}(\mathbb{R})\,(m\leq n)$, 使得 $A+BB'$ 正定 且 $|B'(A+BB')^{-1}B|=1$ 的充要條件是 $r(A)=n-m$.
評注 上述試題 (1) 的前半部分是一道考研試題, 而后半部分是其高階推廣; 進一步, (2) 是 (1) 的一個有益的補充.
三、習題的逆向思維
完成一道證明題后, 經常去想一想條件和結論反過來這個問題是否還成立呢? 這種思維鍛煉對於數學學習極其重要. 因此, 選擇教材習題的逆向思維進行命題, 也是一個行之有效的方法.
例 11 (2013 級高等代數 I 期末考試第七大題) 設 $A$ 為數域 $K$ 上的 $n$ 階非異陣, 證明: 對任意的對角陣 $B\in M_n(K)$, $A^{-1}BA$ 均為對角陣的充分必要條件是 $A=P_1P_2\cdots P_r$, 其中 $P_i$ 均為第一類初等陣 (即對換 $I_n$ 的某兩行) 或第二類初等陣 (即非零常數乘以 $I_n$ 的某一行).
評注 由第一類初等陣或第二類初等陣誘導的相似變換將對角陣變為對角陣, 這是一個顯然的事實 (即上述試題的充分性), 但這一事實的逆向思維 (即上述試題的必要性) 卻並不是一個平凡的命題.
例 12 (2015 級高等代數 II 思考題第 11 題)
(1) 設 $A\in M_n(\mathbb{C})$ 與所有的 $A^k\,(k\geq 1)$ 都相似, 求 $A$ 的 Jordan 標准型;
(2) 設非異陣 $A\in M_n(\mathbb{C})$ 與 $A^{-1}$ 相似, 求 $A$ 的 Jordan 標准型.
評注 上述 (1) 是教材 [1] 復習題七的第 27 題的逆向思維; (2) 是教材 [1] 的習題 7.7.8 的逆向思維.
例 13 (2013 級高等代數 II 每周一題第 5 題) 設 $A,B$ 分別是 $4\times 3$ 和 $3\times 4$ 階實矩陣, 滿足 $$BA= \begin{pmatrix} -9 & -20 & -35 \\2 & 5 & 7 \\2 & 4 & 8 \end{pmatrix},$$ $$AB= \begin{pmatrix} 9a-14 & 0 & 9a-15 & 18a-32 \\6a+2b-9 & 1 & 6a+3b-9 & 12a+4b-19 \\-2a+2 & 0 & -2a+3 & -4a+4 \\-3a+6 & 0 & -3a+6 & -6a+14 \end{pmatrix},$$ 試求參數 $a,b$ 的值.
評注 第三屆全國大學生數學競賽決賽中的一道高等代數試題是: 設 $A,B$ 分別為 $3\times 2$ 和 $2\times 3$ 階實矩陣, 已知 $AB$, 求 $BA$, 而上述試題卻是它的逆向命題.
例 14 (2015 級高等代數 II 期末考試第八大題) 設 $A,B$ 為 $n$ 階正定實對稱陣, 其算術平方根記為 $A^{\frac{1}{2}}$, $B^{\frac{1}{2}}$, 證明: 若 $A-B$ 為半正定陣, 則 $A^{\frac{1}{2}}-B^{\frac{1}{2}}$ 也是半正定陣.
評注 教材 [1] 復習題八的第 24 題告訴我們: $A-B$ 是半正定陣一般不能保證 $A^2-B^2$ 也是半正定陣, 而上述試題卻是這一習題的逆向思維, 即 $A^2-B^2$ 是半正定陣一定能保證 $A-B$ 也是半正定陣.
四、重要理論、定理、方法和技巧的直接應用
教材中某些習題其實是一些重要的解題技巧, 運用這些習題可以證明一些很難的壓軸題. 例如教材 [1] 復習題九的第 31 題被稱為``同時合同對角化''的技巧, 利用它可以證明例 14. 從命題的角度來看, 將壓軸題設計為某些重要理論、定理、方法和技巧的直接應用是最本質的目的. 我們先來看教材習題直接應用的兩道考題.
例 15 (2013 級高等代數 I 期末考試第八大題) 設 $\varphi$ 為數域 $K$ 上 $n$ 維線性空間 $V$ 上的線性變換, 且存在非零向量 $\alpha\in V$, 使得 $V=L(\alpha,\varphi(\alpha),\varphi^2(\alpha),\cdots)=C(\varphi,\alpha)$ 為循環空間. 設 $\varphi^n(\alpha)=-a_0\alpha-a_1\varphi(\alpha)-\cdots-a_{n-1}\varphi^{n-1}(\alpha)$, 令 $f(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\in K[x]$. 證明: 若 $f(x)$ 在數域 $K$ 上至少有兩個互異的首一不可約因式, 則存在非零向量 $\beta,\gamma\in V$, 使得 $V=C(\varphi,\beta)\oplus C(\varphi,\gamma)$.
評注 教材 [1] 的習題 6.3.8 告訴我們: 若 $\varphi$ 的特征多項式 $f(x)$ 可以分解為兩個互素多項式 $g(x),h(x)$ 的乘積, 則有全空間的直和分解 $V=\mathrm{Ker}g(\varphi)\oplus\mathrm{Ker}h(\varphi)$. 上述試題就是這一教材習題的直接應用.
例 16 (2015 級高等代數 II 思考題第 4 題) 設 $n$ 階方陣 $A$ 適合多項式 $f(x)=a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots+a_1x+a_0$, 其中 $|a_m|>\sum\limits_{i=0}^{m-1}|a_i|$. 證明: 矩陣方程 $2X+AX=XA^2$ 只有零解.
評注 教材 [1] 復習題七的第 26 題告訴我們: 若方陣 $A,B$ 沒有公共的特征值, 則矩陣方程 $AX=XB$ 只有零解. 上述試題就是這一教材習題的直接應用. 另外, 第七屆全國大學生數學競賽預賽中的一道高等代數試題也是這一習題的直接應用, 它的更多應用可以參考學習指導書 [2] 的例 6.64--例 6.66.
矩陣的標准形理論是高等代數教學在代數層面的重點, 它們是處理矩陣問題的重要工具和方法. 一個普遍的原則是, 如果矩陣問題的條件和結論在 (同時) 相抵、相似、合同或正交相似關系下不改變, 則可以將其中一個或幾個矩陣化為相抵、相似、合同或正交相似標准形來考慮. 我們來看下面兩道考題, 它們可看成是標准形理論的直接應用.
例 17 (2014 級高等代數 II 期末考試第八大題) 設 $A,B$ 為 $n$ 階半正定實對稱陣, 求證: $AB$ 可對角化.
評注 將 $B$ 化為合同標准型, 然后利用半正定陣的性質即可證明結論.
例 18 (2013 級高等代數 II 期末考試第七大題) 設 $A$ 為 $n$ 階半正定實對稱陣, $B$ 為 $n$ 階實對稱陣且滿足 $AB+BA=0$, 證明: 存在 $n$ 階正交陣 $P$, 使得 $$P'AP=\mathrm{diag}\{\lambda_1,\cdots,\lambda_r,0,\cdots,0\},\,\,\,\,P'BP=\mathrm{diag}\{0,\cdots,0,\mu_{r+1},\cdots,\mu_n\}.$$
評注 將 $A$ 化為正交相似標准型即可證明結論.
最后兩道試題是高等代數中某些重要定理或其證明方法的直接應用.
例 19 (2015 級高等代數 II 期中考試第七大題) 設 $A$ 是數域 $K$ 上的 $n$ 階方陣, 遞歸地定義矩陣序列 $\{A_k\}_{k=1}^\infty$:
$$A_1=A,\,\,\,\,p_k=-\frac{1}{k}\mathrm{tr}(A_k),\,\,\,\,A_{k+1}=A(A_k+p_kI_n),\,\,k=1,2,\cdots.$$
求證: $A_{n+1}=0$.
評注 這道試題是 Newton 公式和 Cayley-Hamilton 定理的直接應用.
例 20 (2011 級高等代數 II 期末考試第八大題) 設 $V$ 為 $n$ 維酉空間, $\varphi,\psi$ 為 $V$ 上的正規算子, 它們都滿足不同特征值的模長互不相同. 證明: $\|\varphi(v)\|=\|\psi(v)\|$ 對任意的 $v\in V$ 成立的充分必要條件是存在譜分解: $\varphi=\lambda_1E_1+\cdots+\lambda_kE_k$, $\psi=\mu_1E_1+\cdots+\mu_kE_k$, 其中 $\lambda_1,\cdots,\lambda_k$, $\mu_1,\cdots,\mu_k$ 分別是 $\varphi,\psi$ 的全體不同特征值, $E_i$ 是對應的正交投影算子, 並且 $|\lambda_i|=|\mu_i|$, $1\leq i\leq k$.
評注 若內積空間之間的線性映射 $\varphi$ 保持范數, 則一定保持內積, 這是高等代數中的一個定理, 其證明方法是將內積寫成范數的表達式. 利用相同的證明方法可以把上述試題中范數的條件轉化成內積的條件, 然后直接利用復正規算子譜分解的唯一性即可證明結論.
在高等代數考試命題的過程中, 除了``不濫用陳題, 堅持自主創新命題''之外 (上述 20 道考題中 17 道為自主創新命題), 我們還特別注重``考題的一題多解性'' (上述 20 道考題中有 10 道可以一題多解, 如例 14 有六種不同的解法, 請參考 [4]), 並期待通過考題的一題多解激發學生的思維活力和創造力. 良好的教學效果需要通過高質量的考試命題來反饋, 而高質量的考試命題反過來也能促進教學質量的提高. 以上關於高等代數考試命題的若干經驗, 懇請國內外同行專家批評指正.
參考文獻
[1] 姚慕生, 吳泉水, 謝啟鴻. 高等代數學 (第三版)[M]. 上海: 復旦大學出版社, 2014.
[2] 姚慕生, 謝啟鴻. 高等代數 (第三版), 大學數學學習方法指導叢書[M]. 上海: 復旦大學出版社, 2015.
[3] 謝啟鴻. 淺談高等代數命題中的若干技巧[J]. 大學數學, 2013, 29(3): 127--130.
[4] 謝啟鴻高等代數官方博客. http://www.cnblogs.com/torsor/.