淺淺地聊一下矩陣與線性映射及矩陣的特征值與特征向量

都說矩陣其實就是線性映射，你明白不？反正一開始我是不明白的；

 

線性映射用矩陣表示：（很好明白的）

有兩個線性空間，分別為V1與V2， V1的一組基表示為，V2的一組基表示為；（注意哦，維度可以不一樣啊，反正就是線性空間啊），

1， 現在呢，有一個從V1到V2的映射F， 它可以把V1中的一組基都映射到線性空間V2中去，所以有：

                      

用矩陣可以表示為：

 

2，現在我們把在V1中有一個向量A，經過映射F變為了向量B，用公式表示為：

                                 

 

 

 

所以呢，坐標的映射表示為：

 

由上面的過程，我們看到了：可以把一個映射F用矩陣 表示；

由空間X映射到空間Y時，向量的坐標轉換表示為：

所以呢，我們可以把矩陣看作是線性變換或線性映射；

（補充一下什么是線性映射？滿足下面兩個條件：   ）

 

矩陣的特征值與特征向量：

應該說是線性映射的特征值與特征向量，因為映射可以用矩陣表示，所以也可以說是矩陣的特征值與特征向量，當線性映射所在的表示為（100;010;001)的形式時，它們的特征值也特征向量相同；

1，用線性映射表示：

在空間V中的一個線性映射Ｆ，若在空間V的存在一個向量，滿足下面：

　　　　　　則向量稱為映射的特征向量，為映射的特征值；

 

 

２，用矩陣表示：

把上面的公式改改，把矩陣A表示映射，用坐標　　來表示向量，可以得到：

 

因為向量映射后結果為，所以，映射前后的線性空間是沒有變化的，所以映射前后可以用同一組基表示，所以有：

最后得到：

 

 

 

特征值與特征向量的幾個定理 ：

1.

2.

3.

4.

 

 

需要強調地是:對於一個N重根的特征值,它的特征向量的基礎解系的個數是小於或等於N的,即上面說的幾何重復度小於或等於代數重復度; 對於不是重根的特征值,只能對應一個特征向量的基礎解系;(基礎解系就是特征向量組成的線性空間的基啊);

舉兩個例子:  

               

上面兩個矩陣中，左邊的矩陣的特征值為二重根1，它的特向量的基礎解系只有一個：（1,0);   右邊矩陣的特征值為二重根1，它的特征向量的基礎解系有兩個：(1,0)和(0,1);

           

上面的矩陣中，左邊的矩陣的特征值為1和2，特征值1對應的特征向量的基礎解系為(1,0,0);      特征值2對應的特征向量的基礎解系只有一個：(1,1,0);

                 右邊的矩陣的特征值為1和2， 特征值1對應的特征向量的基礎解系為(1,0,0);      特征值2對應的特征向量的基礎解系有兩個，分別為：（1，0，1）和（0，1，-1）；

（說明：在重跟的情況下，選擇的基礎解系不是唯一的，不同的基礎解系是可以互相表示的， 在不同基礎解系下表示的線性空間是唯一的；）

 

 

看看特征向量到底是什么？

對於一個映射，特征向量才是本質有用的，特征值的作用不大。一個特征值對應了一個特征向量族（因為可以乘以一個系數，可以它的個數是無窮的），而一個特征向量只能對應一個特征值；

在一個映射中，不同的特征值對應的特征向量組成的線性空間中的向量的方向（負也表示不變）不會發生變化，只是scale變了，縮放倍數即為特征值；

例如：對於不是非重根的特征值的特征向量只有一個，它組成的線性空間是一維的，在映射過程中，在它上面的向量的方向不變； 對於多個重根的特征值的特征向量可以有多個，所以它們組成的線性空間是多維的，在這個線性空間中的向量在映射過程中的方向也是不變的；