線性分式變換（linear fractional transformation）的名稱來源於其定義的形式：
(ax+b)/(cx+d)，
其中分子分母是線性的，然后最外層是一個分式形式，所以叫做這個名字，但是這個名字其實基本沒有對其幾何的或者（可能的）物理內涵進行任何的解釋或者表達。
根據《Convex Optimization》中Remark 2.2對其的解釋，這個線性分式變換可以分解為：P^-1QP(x)，其中x就是初始的n維變量，首先P是一個逆透視變換（perspective transformation是透視變換，會將一個維度，那么逆透視變換自然是升一個維度了），稱為投影變換（projective transformation，很明顯這里的投影變換是升維度變換，和我以前常遇到的降維度變換不同，或許投影變換既可以表示升維度也可以降維度），經過第一個P就變成了n+1維變量，然后Q是一個矩陣變換，既然是矩陣變換那就存在非常多的可能性了，其中可以包括（平移、旋轉、縮放、倒置等），然后將變換后的n+1維變量再進行一次透視變換（降一個維度，既然P是逆透視變換，那么P^-1自然就是透視變換了），又變成了n維的變量。可見這個線性分式變換的目的就是把變量提高一個維度（以統一的方式，也就是透視變換的方式，這種方式可以維持凸性和仿射性），然后在這個高維度的空間中對其進行一些處理（這個就需要由Q=[a,b;c,d]來決定了），然后再用同樣的方式將其送回到原來的維度空間。這個過程，特別是透視變換中對變量最后一項元素必須等於1的強調，讓我想起了在黃家祥論文中看到過的四元數變換，其實歸根結底他想做的是，對三維空間變量進行一系列的操作（平行、旋轉、縮放等），但是卻硬是將變量變成了四維的（這個過程很簡單，原來的三維變量最后加一項元素，這個元素就是1），這樣的好處是什么呢，據我觀察就是變換矩陣變得簡單了。這其實是很有道理的，一個直觀的理解就是，例如在二維平面xy（空間）中，我們想把一個封閉圓形內的一個三角形移到圓形外，這幾乎是不可能的任務，非常難，但是如果在三維空間中這就非常簡單了，只要將這個三角形在第三個維度z進行一個平移，然后再在二維平面xy的任意方向上進行平移， 然后再將這個三角形在z方向進行平移，將其還原到原來的xy平面內，就實現了二維平面內無法完成的任務。這個例子說明，在低維空間內很難（甚至不可能）的事情，在高維（甚至只需要高一個維度）空間中就會變得簡單很多。我們將這個例子與線性分式變換進行對比發現了一些非常相似的地方，首先由二維空間到三維空間的出現，其實就是將變量進行了升維操作，也就對應於逆透視變換P，然后再三維空間的一系列操作就對應於Q，再然后由三維空間的消失恢復到二維空間就對應於透視變換P^-1，可以發現，在這個過程中，透視變換的主要作用其實就是一個規范化的升維（降維）操作。其實關於這個例子，我最初想到的是劉慈欣先生《三體》里地球的遠航艦隊碰到四維時空碎片時的情節，通過”四維空間通道“，一艘艦船里的人神不知鬼不覺得到了另一艘艦上，真是讓人神迷的描述啊。后來由此很自然得想到了《兔子洞里到底是什么》里關於高維空間與低維空間關系的介紹。
