線性回歸（Linear Regression）

1. 前言

線性回歸形式簡單、易於建模，但卻蘊涵着機器學習中一些重要的基本思想。許多功能更為強大的非線性模型(nonlinear model)可在線性模型的基礎上通過引入層級結構或高維映射而得。此外，由於線性回歸的解\(\theta\)直觀表達了各屬性在預測中的重要性，因此線性回歸有很好的可解釋性。

2. 線性回歸原理

線性回歸遇到的問題一般是這樣的。我們有\(m\)個樣本，每個樣本對應於\(n\)維特征和一個結果輸出。

訓練數據的形式：

\[(x_1^{(0)}, x_2^{(0)}, ...x_n^{(0)}, y_0), (x_1^{(1)}, x_2^{(1)},...x_n^{(1)},y_1), ... (x_1^{(m)}, x_2^{(m)}, ...x_n^{(m)}, y_n) \]

我們主要做的是通過找到參數\((\theta_0,\theta_1,...\theta_m)\)，線性回歸模型如下：

\[h_\theta(x_1, x_2, ...x_n) = \theta_0 + \theta_{1}x_1 + ... + \theta_{n}x_{n} \]

矩陣化如下：

\[h_θ(X)=Xθ \]

得到了模型，我們需要求出需要的損失函數，一般線性回歸我們用均方誤差作為損失函數。損失函數的代數法表示如下：

\[J(\theta_0, \theta_1..., \theta_n) = \sum\limits_{i=0}^{m}(h_\theta(x_0, x_1, ...x_n) - y_i)^2 \]

矩陣化如下：

\[J(\mathbf\theta) = \frac{1}{2}(\mathbf{X\theta} - \mathbf{Y})^T(\mathbf{X\theta} - \mathbf{Y}) \]

3. 線性回歸的算法

對於線性回歸的損失函數\(J(\mathbf\theta)=\frac{1}{2}(\mathbf{X\theta}-\mathbf{Y})^T(\mathbf{X\theta}-\mathbf{Y})\)，我們常用的有兩種方法來求損失函數最小化時候的\(θ\)參數：一種是梯度下降法，一種是最小二乘法。

如果采用梯度下降法，則\(\theta\)的迭代公式是這樣的：

\[\mathbf\theta= \mathbf\theta - \alpha\mathbf{X}^T(\mathbf{X\theta} - \mathbf{Y}) \]

通過若干次迭代后，我們可以得到最終的\(\theta\)的結果

如果采用最小二乘法，則\(\theta\)的結果公式如下：

\[\mathbf{\theta} = (\mathbf{X^{T}X})^{-1}\mathbf{X^{T}Y} \]

當然線性回歸，還有其他的常用算法，比如牛頓法和擬牛頓法，這里不詳細描述。

4. 多項式線性回歸

我們遇到的數據不一定都是線性的形式，如果式\(y=x_1^2+x_2^2\)的模型，那線性回歸很難擬合這個函數，這時候就需要用到多項式回歸了。

回到我們開始的線性模型，\(h_\theta(x_1, x_2, ...x_n) = \theta_0 + \theta_{1}x_1 + ... + \theta_{n}x_{n}\), 如果這里不僅僅是x的一次方，而是二次方，那么模型就變成了多項式回歸。這里寫一個只有兩個特征的2次多項式回歸的模型：

\[h_\theta(x_1, x_2) = \theta_0 + \theta_{1}x_1 + \theta_{2}x_{2} + \theta_{3}x_1^{2} + \theta_{4}x_2^{2} + \theta_{5}x_{1}x_2 \]

我們令\(x_0 = 1, x_1 = x_1, x_2 = x_2, x_3 =x_1^{2}, x_4 = x_2^{2}, x_5 = x_{1}x_2\),這樣我們就得到了下式：

\[h_\theta(x_1, x_2) = \theta_0 + \theta_{1}x_1 + \theta_{2}x_{2} + \theta_{3}x_3 + \theta_{4}x_4 + \theta_{5}x_5 \]

可以發現，我們又重新回到了線性回歸，這是一個五元線性回歸，可以用線性回歸的方法來完成算法。對於每個二元樣本特征\((x_1,x_2)\),我們得到一個五元樣本特征\((1,x_1,x_2,x^2_1,x^2_2,x_1x_2)\)，通過這個改進的五元樣本特征，我們重新把不是線性回歸的函數變回線性回歸，但是達到了非線性擬合的效果。

5.廣義線性回歸

在上一節的線性回歸的多項式中，我們對樣本特征進行了變換，用線性回歸完成了非線性回歸的效果。這里我們對於特征\(y\)做推廣。比如我們的輸出\(Y\)不滿足和\(X\)的線性關系，但是\(logY\)和\(X\)滿足線性關系，模型函數如下：

\[logY=Xθ \]

這樣對與每個樣本的輸入\(y\)，我們用\(logy\)去對應， 從而仍然可以用線性回歸的算法去處理這個問題。我們把 \(logy\)一般化，假設這個函數是單調可微函數\(g(.)\),則一般化的廣義線性回歸形式是：\(g(Y)=Xθ\)或者\(Y=g^{-1}(Xθ)\)。這個函數g(.)我們通常稱為聯系函數。后面會講到的邏輯回歸這是在聯系函數的基礎上進行分類的。

6. 線性回歸的正則化

為了防止模型的過擬合，我們在建立線性模型的時候經常需要加入正則化項。一般有L1正則化和L2正則化。

6.1 L1正則化Lasso回歸

L1正則化通常稱為Lasso回歸，它和一般線性回歸的區別是在損失函數上增加了一個L1正則化的項，L1正則化的項有一個常數系數\(\alpha\)來調節損失函數的均方差項和正則化項的權重，具體Lasso回歸的損失函數表達式如下：　　

\[J(θ)=\frac{1}{2n}(Xθ-Y)^T(Xθ-Y)+\alpha|θ|_1 \]

其中\(n\)為樣本個數，\(\alpha\)為常數系數，需要進行調優。\(|θ|_1\)為L1范數。

Lasso回歸可以使得一些特征的系數變小，甚至還是一些絕對值較小的系數直接變為0。增強模型的泛化能力。

6.2 L2正則化Ridge回歸

L2正則化通常稱為Ridge回歸，它和一般線性回歸的區別是在損失函數上增加了一個L2正則化的項，和Lasso回歸的區別是Ridge回歸的正則化項是L2范數，而Lasso回歸的正則化項是L1范數。具體Ridge回歸的損失函數表達式如下：

\[J(θ)=\frac{1}{2}(Xθ-Y)^T(Xθ-Y)+\frac{1}{2}\alpha|θ|_2^2 \]

其中\(\alpha\)為常數系數，需要進行調優。\(|θ|2\)為L2范數。

Ridge回歸在不拋棄任何一個特征的情況下，縮小了回歸系數，使得模型相對而言比較的穩定，但和Lasso回歸比，這會使得模型的特征留的特別多，模型解釋性差。

7. 總結

線性回歸的算法本身並不復雜，但是在它的基礎上延伸出來的內容可謂是相當豐富，涉及到了多項式中的特征轉換（特征工程）、針對過擬合的正則化項、運用非常廣泛的邏輯回歸等。要真正理解它需要對機器學習的知識融匯貫通。