[Leetcode] Unique binary search trees 唯一二叉搜索樹

Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1...n?

For example,
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's.

  1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

題意：給定數n，二叉樹的結點的值分別為1,2....n。問能組成多少種不同的二叉搜索樹。

二叉搜索樹的性質為：在任一結點r的左（右）子樹中，所有結點（若存在）均小於（大於）r。更一般性的特點是：任何一棵二叉樹是二叉搜索樹，當且僅當其中序遍歷序列單調非降。

恩，一看，一想不會，好吧，又要找大神們了。

方法一：遞歸

思路：空樹和只有根節點時，也為BST。對於一點i，當其為根節點時，左子樹的節點的個數為i-1，（為1,...i-1）,右子樹的個數為n-i（為，i+1,...n）。對一個根來說，唯一二叉樹的個數為左子樹結點的個數乘以右子樹的個數。而根節點可以從1到n 中選擇。

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) 
    {
        if(n<=1)    return 1;
        int sum=0;
        for(int i=1;i<=n;++i)
            sum+=numTrees(i-1)*numTrees(n-i);

        return sum;    
    }
};

方法二：

還有大神說這是Catalan Number卡特蘭數的一個例子。卡特蘭數的的遞推公式：

可以使用動態規划解決問題。維護向量sumNode，sumNode(i)為結點個數為i時，唯一二叉搜索樹的個數。和這題相對應的意義，可以寫出n較小的情況。

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) 
    {
        vector<int> sumNode(n+1,0);
        sumNode[0]=1;
        sumNode[1]=1;

        for(int i=2;i<=n;++i)
            for(int j=0;j<i;++j)　　//j符合條件時，最大為i-1，對照公式
                sumNode[i]+=sumNode[j]*sumNode[i-j-1];

        return sumNode[n];  
    }
};