很早就學過歐幾里得算法，但是一直不知道它的原理。幾乎每本算法書都會提到它，但是貌似只有數學書上才會見到它的原理。。。
前段時間粗粗看了點數論（《什么是數學》），驚訝於這個原理的奇妙。現在把它通俗地寫下來，以免自己忘記。
歐幾里得算法是求兩個數的最大公約數(Greatest Common Divisor (GCD))的算法，我們首先假設有兩個數 a 和 b，其中 a 是不小於 b 的數，
記 a 被 b 除的余數為 r，那么 a 可以寫成這樣的形式：
其中 q 是整數（我們不需要去管 q 到底是多少，這和我們的目標無關）。
現在假設 a 和 b 的一個約數為 u，那么 a 和 b 都能被 u 整除，即
s 和 t 都是整數（同樣的，我們只需要知道存在這樣的整數 s 和 t 就行）。
這樣可以得出
所以 r 也能被 u 整除，一般規律如下
a 和 b 的約數也整除它們的余數 r，所以 a 和 b 的任一約數同時也是 b 和 r 的約數。 —— 條件一
反過來可以得出
b 和 r 的任一約數同時也是 a 和 b 的約數。 ——條件二
這是因為對 b 和 r 每一個約數 v，有
於是有
由條件一和條件二可知
a 和 b 的約數的集合，全等於 b 和 r 的約數的集合。
於是
a 和 b 的最大公約數，就是 b 和 r 的最大公約數。
接下來用遞推法，
a ÷ b 余 r，現在設
b ÷ r 余 r1
r ÷ r1 余 r2
……
r(n-3) ÷ r(n-2) 余 r(n-1)
r(n-2) ÷ r(n-1) 余 r(n)=0
因為 a>=b，可以看出余數 r(n) 會越來越小，最終變成 0.
當 r(n-1)≠0 且 r(n) = 0 時，可知 r(n-2) 可被 r(n-1) 整除（余數為0嘛）
此時 r(n-2) 和 r(n-1) 的約數就只有：r(n-1) 和 r(n-1) 的因數，所以他們的最大公約數就是 r(n-1)！
所以 r(n-1) 就是 a 和 b 的最大公約數。（若 r = 0，則 b 為最大公約數）
這個遞推法寫成c語言函數是這樣的（比推導更簡潔...）:
unsigned int Gcd(unsigned int M,unsigned int N){ unsigned int Rem; while(N){ Rem = M % N; M = N; N = Rem; } return Rem; }
可以發現這里沒有要求 M>=N，這是因為如果那樣，循環會自動交換它們的值。