C++求最大公約數（歐幾里得算法）

C++中求最大公約數主要采用歐幾里得算法，歐幾里得算法的核心其實是\(gcd(a, b) = gcd(b, a\ mod\ b)\)下面進行證明

1. 對\(a\ mod \ b\)進行變換

   \[\begin{align*} a\ mod\ b &= a - \left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor \times b\\ &=a - c\times b \end{align*} \]

2. 證明對於\(a\)和\(b\)的任意公約數\(k\)，都是\(b\)和\(a\ mod\ b\)的公約數
   是\(b\)的公約數，同時也是\(a-c\times b\) 的公約數

3. 證明對於\(b\)和\(a\ mod\ b\)的任意公約數\(m\)，都是\(a\)和\(b\)的公約數

   即證明\(m\)是\(a\)的公約數，\(m\)可以整除\(a\ mod\ b\)，則\(m\)可以整除\(a-c\times b\)所以\(m\)可以整除\(a\)

綜上所述，集合\(cd(a, b)\)等於集合\(cd(b, a\ mod\ b)\)，則\(gcd(a, b) = gcd(b, a\ mod\ b)\)，該過程的實現如下

int gcd(int a, int b) {
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}