很早就学过欧几里得算法，但是一直不知道它的原理。几乎每本算法书都会提到它，但是貌似只有数学书上才会见到它的原理。。。
前段时间粗粗看了点数论（《什么是数学》），惊讶于这个原理的奇妙。现在把它通俗地写下来，以免自己忘记。
欧几里得算法是求两个数的最大公约数(Greatest Common Divisor (GCD))的算法，我们首先假设有两个数 a 和 b，其中 a 是不小于 b 的数，
记 a 被 b 除的余数为 r，那么 a 可以写成这样的形式：
其中 q 是整数（我们不需要去管 q 到底是多少，这和我们的目标无关）。
现在假设 a 和 b 的一个约数为 u，那么 a 和 b 都能被 u 整除，即
s 和 t 都是整数（同样的，我们只需要知道存在这样的整数 s 和 t 就行）。
这样可以得出
所以 r 也能被 u 整除，一般规律如下
a 和 b 的约数也整除它们的余数 r，所以 a 和 b 的任一约数同时也是 b 和 r 的约数。 —— 条件一
反过来可以得出
b 和 r 的任一约数同时也是 a 和 b 的约数。 ——条件二
这是因为对 b 和 r 每一个约数 v，有
于是有
由条件一和条件二可知
a 和 b 的约数的集合，全等于 b 和 r 的约数的集合。
于是
a 和 b 的最大公约数，就是 b 和 r 的最大公约数。
接下来用递推法，
a ÷ b 余 r，现在设
b ÷ r 余 r1
r ÷ r1 余 r2
……
r(n-3) ÷ r(n-2) 余 r(n-1)
r(n-2) ÷ r(n-1) 余 r(n)=0
因为 a>=b，可以看出余数 r(n) 会越来越小，最终变成 0.
当 r(n-1)≠0 且 r(n) = 0 时，可知 r(n-2) 可被 r(n-1) 整除（余数为0嘛）
此时 r(n-2) 和 r(n-1) 的约数就只有：r(n-1) 和 r(n-1) 的因数，所以他们的最大公约数就是 r(n-1)！
所以 r(n-1) 就是 a 和 b 的最大公约数。（若 r = 0，则 b 为最大公约数）
这个递推法写成c语言函数是这样的（比推导更简洁...）:
unsigned int Gcd(unsigned int M,unsigned int N){ unsigned int Rem; while(N){ Rem = M % N; M = N; N = Rem; } return Rem; }
可以发现这里没有要求 M>=N，这是因为如果那样，循环会自动交换它们的值。