博弈論(Game Theory) - 04 - 納什均衡

開始

納什均衡和最大最小定理是博弈論的兩大基石。
博弈不僅僅是對抗，也包括合作和遷就，納什均衡能夠解決這些問題，提供了在數學上一個完美的理論。
納什均衡的中心思想是主動選擇一個對大家都有利的戰略，迫使其他玩家選擇相同的戰略組合。

納什均衡

示例

這里，我們使用“戰略式”表述，如下：

		B
		L	M	R
A	U	3,2	4,7	5,1
	H	6,1	2,8	1,1
	D	3,7	8,9	10, 4

純戰略納什均衡的划線法

注：我用紅色代替了划線。
在玩家A的每一個戰略中，找到玩家B的最大支付，並在其下面划線。
比如：玩家A的戰略U中，玩家B的最大支付是7。
然后
在玩家B的每一個戰略中，找到玩家A的最大支付，並在其下面划線。
最后，都有划線的戰略組合就是純戰略納什均衡。

概念

• 納什均衡
  對於n人戰略式表述博弈\(G = \{ S_1, \cdots, S_n; u_1, \cdots, u_n\}\)，若戰略組合\(s^*=(s_1^*, \cdots, s_n^*)\)滿足如下條件，則稱\(s^*\)是一個納什均衡：
  \(u_1(s_i^*, s_{-1}^*) \ge u_1(s_i, s_{-1}^*) \ \forall s_i \in S_i, i-1, \cdots, n\)
  或者用另一種表達方式：當且僅當\(s_i^*\)是下述最大化問題的解時，\(s^*\)是一個納什均衡
  \(s_i^* = \underset{s_i}{argmax} \ u_i(s_1^*, \cdots, s_{i-1}^*, s_i, s_{i+1}^*, \cdots, s_n^*), \ i=1, \cdots, n; s_i \in S_i\)
  納什均衡的含義是說：當局中人在某一選定的戰略組合下都沒有積極性偏離各自已選定的戰略時，該戰略組合就構成一個納什均衡。
  納什均衡對應的戰略組合是：戰略組合的每個特定玩家策略都是（當其他玩家做出這個戰略組合對應的選擇時）其最優解。

參考

• 博弈論與經濟模型， 蒲勇健。