luogu P1029 最大公約數和最小公倍數問題

P1029 最大公約數和最小公倍數問題

直通

首先你要知道一點：

若A×B代表二者的乘積，也就是二者最大的乘積，

如果用A×B除以二者的最小公倍數，就能得到了二者的最大公約數

當然前提是這兩個數要是非零的兩個整數

最大公約數=A×B/最小公倍數

反過來，最小公倍數=A×B/最大公約數

那么這道題就很簡單地做出來了：

方法一：枚舉

①

#include<iostream>
#include<cmath>

using namespace std;

int gcd(int a,int b)//求最大公約數 
{
    while(b!=0)//輾轉相除法求最大公約數 
    {
      int qwq=a%b;
      a=b;
      b=qwq;
    }
    return a;
    //return b == 0 ? a : gcd(b,a%b);
}

int main()
{
    int x,y;
    cin>>x>>y;//輸入最大公約數以及最小公倍數 
    int v=x*y;//最大值 
    int s=(int)sqrt(v);//不用重復進行尋找 
    int n=0;
    for(int i=x;i<=s;i++)
        if((v%i==0)//如果最大值能夠整除當前的數，則說明找到了一組可能是真的的解 
            &&(gcd(v/i,i)==x))//如果另外一個數與當前的數的最大公約數等於輸入的最大公約數 
            n++;//進行計數
    cout<<n*2;// 不進行重復的篩之后要加上另一塊的 
    return 0;  
}

②

#include <iostream>
#include <cstdio>
#define LL long long
using namespace std;

LL gcd(LL a,LL b) {
    return b ? gcd(b,a%b) : a;
}

int main() {
    LL Gcd,Lcm,ans=0;
    cin>>Gcd>>Lcm;
    LL Max=Gcd*Lcm;
    for(int i=Gcd; i<=Lcm; i++)
        for(int j=Gcd; j<=Lcm; j++) {
            if(i*j>Max) continue;
            if(gcd(i,j)!=Gcd) continue;
            if(i*j==Max) ans++;
        }
    cout<<ans;
    return 0;
}

---

方法二：分解質因數（最優）

思路：

題目要求最大公約數（gcd）為3，最小公倍數（lcm）為60的兩個數p、q的組數，兩個數都去掉gcd后，即樣例中的3、60變為1、20。

這樣即可變為求gcd為1，lcm為20的兩個數p、q的組數，即找兩個互質的數，他們的乘積為20。

那么可以對20進行質因數分解，得：2、2、5。

盯住其中一個數，從質因數中選擇。由於兩個數要求互質，所以相同的質因數要合並，得到：4、5。

選法有2^2=4種：1，4，5，20。對應的四組答案即：1-20，4-5，5-4，20-1。

乘以gcd得到原來題目答案：3-60，12-15，15-12，60-3。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;

int main() {
    int x,y,z,k=0,i;//k為不同質因數的個數
    scanf("%d%d",&x,&y);
    if(y%x!=0) printf("%d\n",0);
    else {
        z=y/x;//除以最大公約數x
        for(i=2; i<=z; ++i) { //質因數分解
            if(z%i==0) {
                ++k;
                while(z%i==0)z=z/i;//合並相同的質因數
            }
        }
        printf("%d\n",int(pow(2,k)));
    }
    return 0;
}