1. 拓撲排序
不存在有向環路的有向圖稱為無環路有向圖。無環有向圖可用於表示偏序集。設R是有窮集合X上的偏序關系，對X的每個v，用一個以v為標號的頂點表示，由此構成頂點集V。對R中任意一個序對(a,b)，a不等於b，由對應的兩個頂點建立一條邊(a,b)，由此構成邊集E，則G=(V,E)是無環路有向圖。
下面介紹由廣度優先搜索算法演變而得到的拓撲排序算法。
給定一個無環路有向圖G=(V,E)，各頂點的編號為V={1,2,...,n}。要求用label[i]對每個頂點i重新進行編號，使得若i是j的前導頂點(廣度優先搜索)，則label[i] < label[j]。即拓撲排序是將無環路有向圖的每個頂點排成一個線性序列，使得當從頂點i到頂點j存在一條邊時，則在線性序列中，將i排在j的前面。
代碼如下：
//輸入為鄰接表
void TopoOrder(GRAPH L)
{
QUEUE Q;
vertex v,w;
int nodecount;
MakeNull(Q);
//入度為0的頂點進隊
for(v=1;v<=n;v++)
if(indegree[v]=0)
EnQueue(v,Q);
nodecount = 0;
while(!Empty(Q)) {
v = Front(Q);
DeQueue(Q);
count << v;
nodecount ++;
for(鄰接於v的每個頂點w) {
indegree[w] = indegree[w] - 1;//刪除由v發出的邊
if(indegree[w] == 0)
EnQueue(w,Q);
}
}
if(nodecount < n)
cout << "you huan lu a!";
}
2. 關鍵路徑
2.1 概念
在引進“關鍵路徑”這個詞之前，先介紹一下與它密不可分的幾個概念。如果在帶權的有向圖中，用頂點表示事件，邊表示活動，權表示活動持續的時間。把這樣的有向圖稱為關於邊的活動網。與之相對應，若用頂點表示活動，用邊表示活動的先后順序關系，這樣的有向圖稱為關於頂點的活動網，例如拓撲圖。將這些活動網統稱為AOE網。
事件v5表示活動a4和a5已結結束，a7和a8可以開始。邊上的數字為持續的時間。
顯然，在AOE網中，由於有些活動可以同時進行，所以完成工程最小時間是從起始點到結束點最長路徑的長度，把從起始點到結束點具有最大長度的路徑稱為關鍵路徑。圖中的a1-a4-a7-a10(長為18)就是其中一條關鍵路徑。關鍵路徑的長度代表完成這個工程最少需要的時間。這里需要注意，活動的時間只是指完成該活動的最少時間，實際上可能會拖延什么的。
從AOE網的起始點v1到其中某一頂點vi的最長路徑的長度，稱為事件vi的最早發生時間，記為VE[i]。如事件v5的最早發生時間為7。
用E(i)表示活動ai的最早開始時間。事件vi的最早發生時間決定了以vi為起點的所有邊上的活動的最早開始時間。如E(7)=E(8)=事件v5的最早發生時間=7。
對於活動ai，還定義一個最遲開始時間，它是不使整個工程的完成時間拖延的最晚開始時間。用L(i)表示。如，L(6)=18-a11-a9-a6=8。
對於事件vi，也有一個最遲發生時間VL[i]。
關鍵路徑上，所有活動都滿足E(i) = L(i)，把滿足這一等式的所有活動稱為
關鍵活動。
活動ai的最遲開始時間和最早開始時間之差表示ai的完成時間余量，即允許ai延緩的時間。
2.2 尋找關鍵活動
求解關鍵活動在於求解E(i)和L(i)。
設活動ai所對應的邊為(k,m)，並且用ACT[k][m]來表示一個活動的持續時間，很明顯：
E(i) = VE[k] 或者用E(k,m)
L(i) = VL[m] - ACT[k][m] 或者用L(k,m)
現在就轉化為求解VE[i]和VL[i]，分成兩步：
- 前進階段：從VE1=0開始，沿着路徑上每條邊的方向，應用如下公式求出每個事件的最早發生時間：
VE[m] = max{VE[k]+ACT[k][m]}，k是m的直接前導頂點 - 回退階段：從已求出的VL[n]=VE[n]開始，沿着路徑上每條邊的相反方向，應用如下公式：
VL[k] = min{VL[m]-ACT[k][m]}，m為k的直接后續頂點
可以用類似拓撲排序的算法求出L[i]和E[i]，對於這兩者都相等的活動則是關鍵活動，將所有非關鍵活動刪除后得到的圖，任意一條路徑都是關鍵路徑。