關鍵路徑（Critical paths）
假言推理基礎（前提/前項）
圖、有向無環圖（DAG）、拓撲排序
引子
最長路徑問題，與最短路徑問題不同，最長路徑問題是 NP-hard 問題，該問題的決策版本（詢問是否存在至少某個給定長度的路徑）是 NP-完全的。這意味着除非 P = NP，否則無法在多項式時間內解決任意圖的決策問題。
然而，在DAG中，它具有線性時間解，這在尋找調度問題的關鍵路徑方面具有重要的應用。
拓撲排序與最短路徑的應用
在計算機科學中，有向圖的拓撲排序或拓撲排序是其頂點的線性排序，使得對於從頂點 u 到頂點 v 的每個有向邊 uv，u 在排序中排在 v 之前。
在數學中，全序或線性序是任何兩個元素都具有可比性的偏序。（In mathematics, a total or linear order is a partial order in which any two elements are comparable. ）
偏序關系是具有傳遞性和反對稱性的齊次關系。(如，a < b是嚴格偏序，a <= b是非嚴格偏序（Non-strict partial order）)
拓撲排序可用於通過加權有向無環圖快速計算最短路徑。令 V 是這樣一個圖（必須是加權有向無環圖）中的頂點列表，按拓撲順序排列。然后以下算法計算從某些源頂點 s 到所有其他頂點的最短路徑：
- 令 d 是一個與 V 長度相同的數組；這將保存從 s 出發得到的最短路徑距離。設置 d[s] = 0，所有其他 d[u] = ∞。
- 設 p 是一個與 V 長度相同的數組，所有元素都初始化為 nil；p[u] 將在從 s 到 u 的最短路徑中保存 u 的前驅。
進入循環
- 從 s 開始，按照 V 中的順序循環遍歷頂點 u：
- 對於緊跟在 u 之后的每個頂點 v（即 u 和 v 滿足存在從 u 到 v 的邊，遞歸）：
- 令 w 等於 uv 邊的權重
- 松弛邊緣：if d[u] > d[v] + w, set
- d[u] := d[v] + w,
- p[u] := v.
:= 是數學符號，意為賦值，以后不再解釋。
在 n 個頂點和 m 個邊的圖上，該算法需要 Θ(n + m)的線性時間。
DAG與最長路徑的應用
加權圖 G 中兩個給定頂點 s 和 t 之間的最長路徑與圖 -G 中通過將每個權重變為其否定而從 G 導出的最短路徑相同。因此，如果可以在-G 中找到最短路徑，那么也可以在 G 中找到最長路徑。
對於大多數圖，這種變換沒有用，因為它在 -G 中創建了負長度的循環。但如果 G 是有向無環圖，則不可能有負循環，通過對 -G 應用最短路徑線性時間算法可以在線性時間內找到 G 中的最長路徑，這也是有向無環圖。對於 DAG，可以通過在 -G 上運行最短路徑算法來獲得從源頂點到所有其他頂點的最長路徑。
類似地，對於給定 DAG 中的每個頂點 v，可以通過以下步驟獲得終止於 v 的最長路徑(即關鍵路徑)的長度：
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找到給定 DAG 的拓撲排序。
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對於 DAG 的每個頂點 v，在拓撲排序中，通過查看其傳入鄰居並將這些鄰居記錄的最大長度加一來計算以 v 結束的最長路徑的長度。如果 v 沒有傳入鄰居，請將以 v 結尾的最長路徑的長度設置為零。在任一情況下，請記錄此編號，以便算法的后續步驟可以訪問它。
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Find a topological ordering of the given DAG.
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For each vertex v of the DAG, in the topological ordering, compute the length of the longest path ending at v by looking at its incoming neighbors and adding one to the maximum length recorded for those neighbors. If v has no incoming neighbors, set the length of the longest path ending at v to zero. In either case, record this number so that later steps of the algorithm can access it.
一旦完成，整個 DAG 中最長的路徑可以通過從具有最大記錄值的頂點 v 開始，然后重復地向后退到其具有最大記錄值的傳入鄰居，並反轉在其中找到的頂點序列來獲得。
這相當於在-G 上運行最短路徑算法。
關鍵路徑（Critical paths）
調度一組活動的關鍵路徑方法涉及構建一個有向無環圖，其中頂點代表項目里程碑，邊代表必須在一個里程碑之后和另一個里程碑之前執行的活動；每條邊都由完成相應活動所需時間的估計值加權。在這樣的圖中，從第一個里程碑到最后一個里程碑的最長路徑是關鍵路徑，它描述了完成項目的總時間。
有向無環圖的最長路徑也可以應用於分層圖繪制：將有向無環圖 G 的每個頂點 v 分配給編號為以 v 結尾的最長路徑的長度的層，導致 G 的層分配具有最小值可能的層數。