數據結構---->圖的應用（拓撲排序，關鍵路徑）

本文轉載自查看原文 2012-12-27 22:58 2869 數據結構

七、圖的應用

7.1、兩種常用的活動網絡（ Activity Network）：

① AOV網(Activity On Vertices)—用頂點表示活動的網絡

AOV網定義：若用有向圖表示一個工程，在圖中用頂點表示活動，用弧表示活動間的優先關系。Vi 必須先於活動Vj 進行。則這樣的有向圖叫做用頂點表示活動的網絡，簡稱AOV。

② AOE網(Activity On Edges)—用邊表示活動的網絡

AOE網定義：如果在無環的帶權有向圖中，用有向邊表示一個工程中的活動，用邊上權值表示活動持續時間，用頂點表示事件，則這樣的有向圖叫做用邊表示活動的網絡，簡稱AOE。

7.2、AOV網絡的用途---拓撲排序

我們經常用有向圖來描述一個工程或系統的進行過程。一般來說，一個工程可以分為若干個子工程，只要完成了這些子工程，就可以導致整個工程的完成。

AOV網絡若用於教學計划的制定，可以解決：哪些課程是必須先修的，哪些課程是可以並行學習的。

拓撲排序

什么叫拓撲排序？

按照有向圖給出的次序關系，將圖中頂點排成一個線性序列，對於有向圖中沒有限定次序關系的頂點，則可以人為加上任意的次序關系。由此所得頂點的線性序列稱之為拓撲有序序列

如何進行拓撲排序？

一、從有向圖中選取一個沒有前驅的頂點（即入度為零的頂點），並輸出之;

二、從有向圖中刪去此頂點以及所有以它為尾的弧（即弧頭頂點的入度減1）;

重復上述兩步,直到

全部頂點均已輸出，拓撲有序序列形成，拓撲排序完成；

或圖中還有未輸出的頂點，但已跳出處理循環。這說明圖中還剩下一些頂點，它們都有直接前驅，再也找不到沒有前驅的頂點了。這時AOV網絡中必定存在有向環。

序號 1、2、3、4、5、6、7 前件的序號<后件的序號，合乎拓撲排序的要求

使用鄰接矩陣實現拓撲排序：

算法的執行步驟：

1、找到全為零的第j 列，輸出j

2、將第j 行的全部元素置為零

3、找到全為零的第k列，輸出k

4、將第k行的全部元素置為零 …………………

反復執行3、4；直至所有元素輸出完畢。

使用鄰接表實現拓撲排序：

算法的執行步驟：

1、用一個數組記錄每個結點的入度。將入度為零的結點進棧。

2、將棧中入度為零的結點V輸出。

3、根據鄰接表找到結點V的所有的鄰接結點，並將這些鄰接結點的入度減一。如果某一結點的入度變為零，則進棧。

4、反復執行 2、3；直至棧空為止。 …………………

次序執行結束，如果輸出結點數等於圖的結點總數，則有向圖無環，否則有向圖有環。

CountInDegree(G,indegree); //對各頂點求入度

InitStack(S);

for ( i=0; i<G.vexnum; ++i)

if (!indegree[i]) Push(S, i); //入度為零的頂點入棧

count=0; //對輸出頂點計數

while (!EmptyStack(S)) {

Pop(S, v); ++count; printf(v);

for (w=FirstAdj(v); w; w=NextAdj(G,v,w)){

--indegree(w); // 弧頭頂點的入度減一

if (!indegree[w]) Push(S, w); //新產生的入度為零的頂點入棧

}

if (count<G.vexnum)printf(“圖中有回路”)

7.3AOE網絡的用途：---確定關鍵路徑

常用於大型工程的計划管理。利用AOE網絡可以解決以下兩個問題：

(1) 完成整個工程至少需要多少時間。(假設網絡中沒有環)?

(2) 為縮短完成工程所需的時間, 應當加快哪些活動? 或者說，哪些活動是影響工程進度的關鍵？

問題:假設以有向網表示一個施工流圖，弧上的權值表示完成該項子工程所需時間。

問：哪些子工程項是“關鍵工程”？

即：哪些子工程項將影響整個工程的完成期限的。

例設一個工程有11項活動，9個事件

事件V1——表示整個工程開始

事件V9——表示整個工程結束

(1) 完成整項工程至少需要多少時間？

(2) 哪些活動是影響工程進度的關鍵？

關鍵路徑

在AOE網絡中, 有些活動順序進行，有些活動並行進行。
從源點到各個頂點，以至從源點到匯點的有向路徑可能不止一條。這些路徑的長度也可能不同。完成不同路徑的活動所需的時間雖然不同，但只有各條路徑上所有活動都完成了，整個工程才算完成。
完成整個工程所需的時間取決於從源點到匯點的最長路徑長度，即在這條路徑上所有活動的持續時間之和。這條路徑長度最長的路徑就叫做關鍵路徑(Critical Path)。

整個工程完成的時間為：從有向圖的源點到匯點的最長路徑。

關鍵活動：該弧上的權值增加將使有向圖上的最長路徑的長度增加。關鍵活動的最早開始時間 =關鍵活動的最遲開始時間

構造關鍵路徑的方法：要用到拓撲排序和逆拓撲排序

事件發生時間的計算公式:

ve(源點) = 0; ve(k) = Max{ve(j) + dut(<j,k>)}

vl(匯點) = ve(匯點); vl(j) = Min{vl(k) – dut(<j, k>)}