RMQ問題(線段樹算法，ST算法優化)

RMQ (Range Minimum/Maximum Query)問題是指：

對於長度為n的數列A，回答若干詢問RMQ(A,i,j)(i,j<=n)，返回數列A中下標在[i,j]里的最小(大）值，也就是說，RMQ問題是指求區間最值的問題



主要方法及復雜度(處理復雜度和查詢復雜度)如下:

1.朴素（即搜索） O(n)-O(n)

2.線段樹(segment tree) O(n)-O(qlogn)

3.ST（實質是動態規划） O(nlogn)-O(1)



線段樹方法:

線段樹能在對數時間內在數組區間上進行更新與查詢。

定義線段樹在區間[i, j] 上如下：

第一個節點維護着區間 [i, j] 的信息。

if i<j , 那么左孩子維護着區間[i, (i+j)/2] 的信息，右孩子維護着區間[(i+j)/2+1, j] 的信息。

可知 N  個元素的線段樹的高度 為 [logN] + 1(只有根節點的樹高度為0) .

下面是區間 [0, 9]  的一個線段樹:







線段樹和堆有一樣的結構, 因此如果一個節點編號為 x ，那么左孩子編號為2*x  右孩子編號為2*x+1.



使用線段樹解決RMQ問題，關鍵維護一個數組M[num]，num=2^(線段樹高度+1).

M[i]:維護着被分配給該節點(編號:i 線段樹根節點編號:1)的區間的最小值元素的下標。 該數組初始狀態為-1.

#include<iostream>

using namespace std;

#define MAXN 100
#define MAXIND 256 //線段樹節點個數

//構建線段樹,目的:得到M數組.
void initialize(int node, int b, int e, int M[], int A[])
{
    if (b == e)
        M[node] = b; //只有一個元素,只有一個下標
    else
    {
    //遞歸實現左孩子和右孩子
        initialize(2 * node, b, (b + e) / 2, M, A);
        initialize(2 * node + 1, (b + e) / 2 + 1, e, M, A);
    //search for the minimum value in the first and
    //second half of the interval
    if (A[M[2 * node]] <= A[M[2 * node + 1]])
        M[node] = M[2 * node];
    else
        M[node] = M[2 * node + 1];
    }
}

//找出區間 [i, j] 上的最小值的索引
int query(int node, int b, int e, int M[], int A[], int i, int j)
{
    int p1, p2;


    //查詢區間和要求的區間沒有交集
    if (i > e || j < b)
        return -1;

    //if the current interval is included in
    //the query interval return M[node]
    if (b >= i && e <= j)
        return M[node];

    //compute the minimum position in the
    //left and right part of the interval
    p1 = query(2 * node, b, (b + e) / 2, M, A, i, j);
    p2 = query(2 * node + 1, (b + e) / 2 + 1, e, M, A, i, j);

    //return the position where the overall
    //minimum is
    if (p1 == -1)
        return M[node] = p2;
    if (p2 == -1)
        return M[node] = p1;
    if (A[p1] <= A[p2])
        return M[node] = p1;
    return M[node] = p2;

}


int main()
{
    int M[MAXIND]; //下標1起才有意義,保存下標編號節點對應區間最小值的下標.
    memset(M,-1,sizeof(M));
    int a[]={3,1,5,7,2,9,0,3,4,5};
    initialize(1, 0, sizeof(a)/sizeof(a[0])-1, M, a);
    cout<<query(1, 0, sizeof(a)/sizeof(a[0])-1, M, a, 0, 5)<<endl;
    return 0;
}

ST算法（Sparse Table）:它是一種動態規划的方法。

以最小值為例。a為所尋找的數組.

用一個二維數組f(i,j)記錄區間[i,i+2^j-1](持續2^j個)區間中的最小值。其中f[i,0] = a[i];

所以，對於任意的一組(i,j)，f(i,j) = min{f(i,j-1),f(i+2^(j-1),j-1)}來使用動態規划計算出來。

這個算法的高明之處不是在於這個動態規划的建立，而是它的查詢：它的查詢效率是O(1).

假設我們要求區間[m,n]中a的最小值，找到一個數k使得2^k<n-m+1.

這樣，可以把這個區間分成兩個部分：[m,m+2^k-1]和[n-2^k+1,n].我們發現，這兩個區間是已經初始化好的.

前面的區間是f(m,k)，后面的區間是f(n-2^k+1,k).

這樣，只要看這兩個區間的最小值，就可以知道整個區間的最小值！

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;

#define M 100010
#define MAXN 500
#define MAXM 500
int dp[M][18];
/*
*一維RMQ ST算法
*構造RMQ數組 makermq(int n,int b[]) O(nlog(n))的算法復雜度
*dp[i][j] 表示從i到i+2^j -1中最小的一個值(從i開始持續2^j個數)
*dp[i][j]=min{dp[i][j-1],dp[i+2^(j-1)][j-1]}
*查詢RMQ rmq(int s,int v)
*將s-v 分成兩個2^k的區間
*即 k=(int)log2(s-v+1)
*查詢結果應該為 min(dp[s][k],dp[v-2^k+1][k])
*/

void makermq(int n,int b[])
{
    int i,j;
    for(i=0;i<n;i++)
        dp[i][0]=b[i];
    for(j=1;(1<<j)<=n;j++)
        for(i=0;i+(1<<j)-1<n;i++)
            dp[i][j]=min(dp[i][j-1],dp[i+(1<<(j-1))][j-1]);
}
int rmq(int s,int v)
{
    int k=(int)(log((v-s+1)*1.0)/log(2.0));
    return min(dp[s][k],dp[v-(1<<k)+1][k]);
}

void makeRmqIndex(int n,int b[]) //返回最小值對應的下標
{
    int i,j;
    for(i=0;i<n;i++)
        dp[i][0]=i;
    for(j=1;(1<<j)<=n;j++)
        for(i=0;i+(1<<j)-1<n;i++)
            dp[i][j]=b[dp[i][j-1]] < b[dp[i+(1<<(j-1))][j-1]]? dp[i][j-1]:dp[i+(1<<(j-1))][j-1];
}
int rmqIndex(int s,int v,int b[])
{
    int k=(int)(log((v-s+1)*1.0)/log(2.0));
    return b[dp[s][k]]<b[dp[v-(1<<k)+1][k]]? dp[s][k]:dp[v-(1<<k)+1][k];
}

int main()
{
    int a[]={3,4,5,7,8,9,0,3,4,5};
    //返回下標
    makeRmqIndex(sizeof(a)/sizeof(a[0]),a);
    cout<<rmqIndex(0,9,a)<<endl;
    cout<<rmqIndex(4,9,a)<<endl;
    //返回最小值
    makermq(sizeof(a)/sizeof(a[0]),a);
    cout<<rmq(0,9)<<endl;
    cout<<rmq(4,9)<<endl;
    return 0;
}