RMQ問題(線段樹算法,ST算法優化)


RMQ (Range Minimum/Maximum Query)問題是指:

對於長度為n的數列A,回答若干詢問RMQ(A,i,j)(i,j<=n),返回數列A中下標在[i,j]里的最小(大)值,也就是說,RMQ問題是指求區間最值的問題



主要方法及復雜度(處理復雜度和查詢復雜度)如下:

1.朴素(即搜索) O(n)-O(n)

2.線段樹(segment tree) O(n)-O(qlogn)

3.ST(實質是動態規划) O(nlogn)-O(1)



線段樹方法:

線段樹能在對數時間內在數組區間上進行更新與查詢。

定義線段樹在區間[i, j] 上如下:

第一個節點維護着區間 [i, j] 的信息。

if i<j , 那么左孩子維護着區間[i, (i+j)/2] 的信息,右孩子維護着區間[(i+j)/2+1, j] 的信息。

可知 N  個元素的線段樹的高度 為 [logN] + 1(只有根節點的樹高度為0) .

下面是區間 [0, 9]  的一個線段樹:







線段樹和堆有一樣的結構, 因此如果一個節點編號為 x ,那么左孩子編號為2*x  右孩子編號為2*x+1.



使用線段樹解決RMQ問題,關鍵維護一個數組M[num],num=2^(線段樹高度+1).

M[i]:維護着被分配給該節點(編號:i 線段樹根節點編號:1)的區間的最小值元素的下標。 該數組初始狀態為-1.

 1 #include<iostream>
 2 
 3 using namespace std;
 4 
 5 #define MAXN 100
 6 #define MAXIND 256 //線段樹節點個數
 7 
 8 //構建線段樹,目的:得到M數組.
 9 void initialize(int node, int b, int e, int M[], int A[])
10 {
11     if (b == e)
12         M[node] = b; //只有一個元素,只有一個下標
13     else
14     {
15     //遞歸實現左孩子和右孩子
16         initialize(2 * node, b, (b + e) / 2, M, A);
17         initialize(2 * node + 1, (b + e) / 2 + 1, e, M, A);
18     //search for the minimum value in the first and
19     //second half of the interval
20     if (A[M[2 * node]] <= A[M[2 * node + 1]])
21         M[node] = M[2 * node];
22     else
23         M[node] = M[2 * node + 1];
24     }
25 }
26 
27 //找出區間 [i, j] 上的最小值的索引
28 int query(int node, int b, int e, int M[], int A[], int i, int j)
29 {
30     int p1, p2;
31 
32 
33     //查詢區間和要求的區間沒有交集
34     if (i > e || j < b)
35         return -1;
36 
37     //if the current interval is included in
38     //the query interval return M[node]
39     if (b >= i && e <= j)
40         return M[node];
41 
42     //compute the minimum position in the
43     //left and right part of the interval
44     p1 = query(2 * node, b, (b + e) / 2, M, A, i, j);
45     p2 = query(2 * node + 1, (b + e) / 2 + 1, e, M, A, i, j);
46 
47     //return the position where the overall
48     //minimum is
49     if (p1 == -1)
50         return M[node] = p2;
51     if (p2 == -1)
52         return M[node] = p1;
53     if (A[p1] <= A[p2])
54         return M[node] = p1;
55     return M[node] = p2;
56 
57 }
58 
59 
60 int main()
61 {
62     int M[MAXIND]; //下標1起才有意義,保存下標編號節點對應區間最小值的下標.
63     memset(M,-1,sizeof(M));
64     int a[]={3,1,5,7,2,9,0,3,4,5};
65     initialize(1, 0, sizeof(a)/sizeof(a[0])-1, M, a);
66     cout<<query(1, 0, sizeof(a)/sizeof(a[0])-1, M, a, 0, 5)<<endl;
67     return 0;
68 }

ST算法(Sparse Table):它是一種動態規划的方法。

以最小值為例。a為所尋找的數組.

用一個二維數組f(i,j)記錄區間[i,i+2^j-1](持續2^j個)區間中的最小值。其中f[i,0] = a[i];

所以,對於任意的一組(i,j),f(i,j) = min{f(i,j-1),f(i+2^(j-1),j-1)}來使用動態規划計算出來。

這個算法的高明之處不是在於這個動態規划的建立,而是它的查詢:它的查詢效率是O(1).

假設我們要求區間[m,n]中a的最小值,找到一個數k使得2^k<n-m+1.

這樣,可以把這個區間分成兩個部分:[m,m+2^k-1]和[n-2^k+1,n].我們發現,這兩個區間是已經初始化好的.

前面的區間是f(m,k),后面的區間是f(n-2^k+1,k).

這樣,只要看這兩個區間的最小值,就可以知道整個區間的最小值!

 1 #include<iostream>
 2 #include<cmath>
 3 #include<algorithm>
 4 using namespace std;
 5 
 6 #define M 100010
 7 #define MAXN 500
 8 #define MAXM 500
 9 int dp[M][18];
10 /*
11 *一維RMQ ST算法
12 *構造RMQ數組 makermq(int n,int b[]) O(nlog(n))的算法復雜度
13 *dp[i][j] 表示從i到i+2^j -1中最小的一個值(從i開始持續2^j個數)
14 *dp[i][j]=min{dp[i][j-1],dp[i+2^(j-1)][j-1]}
15 *查詢RMQ rmq(int s,int v)
16 *將s-v 分成兩個2^k的區間
17 *即 k=(int)log2(s-v+1)
18 *查詢結果應該為 min(dp[s][k],dp[v-2^k+1][k])
19 */
20 
21 void makermq(int n,int b[])
22 {
23     int i,j;
24     for(i=0;i<n;i++)
25         dp[i][0]=b[i];
26     for(j=1;(1<<j)<=n;j++)
27         for(i=0;i+(1<<j)-1<n;i++)
28             dp[i][j]=min(dp[i][j-1],dp[i+(1<<(j-1))][j-1]);
29 }
30 int rmq(int s,int v)
31 {
32     int k=(int)(log((v-s+1)*1.0)/log(2.0));
33     return min(dp[s][k],dp[v-(1<<k)+1][k]);
34 }
35 
36 void makeRmqIndex(int n,int b[]) //返回最小值對應的下標
37 {
38     int i,j;
39     for(i=0;i<n;i++)
40         dp[i][0]=i;
41     for(j=1;(1<<j)<=n;j++)
42         for(i=0;i+(1<<j)-1<n;i++)
43             dp[i][j]=b[dp[i][j-1]] < b[dp[i+(1<<(j-1))][j-1]]? dp[i][j-1]:dp[i+(1<<(j-1))][j-1];
44 }
45 int rmqIndex(int s,int v,int b[])
46 {
47     int k=(int)(log((v-s+1)*1.0)/log(2.0));
48     return b[dp[s][k]]<b[dp[v-(1<<k)+1][k]]? dp[s][k]:dp[v-(1<<k)+1][k];
49 }
50 
51 int main()
52 {
53     int a[]={3,4,5,7,8,9,0,3,4,5};
54     //返回下標
55     makeRmqIndex(sizeof(a)/sizeof(a[0]),a);
56     cout<<rmqIndex(0,9,a)<<endl;
57     cout<<rmqIndex(4,9,a)<<endl;
58     //返回最小值
59     makermq(sizeof(a)/sizeof(a[0]),a);
60     cout<<rmq(0,9)<<endl;
61     cout<<rmq(4,9)<<endl;
62     return 0;
63 }

 


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