RMQ (Range Minimum/Maximum Query)問題是指:
對於長度為n的數列A,回答若干詢問RMQ(A,i,j)(i,j<=n),返回數列A中下標在[i,j]里的最小(大)值,也就是說,RMQ問題是指求區間最值的問題
主要方法及復雜度(處理復雜度和查詢復雜度)如下:
1.朴素(即搜索) O(n)-O(n)
2.線段樹(segment tree) O(n)-O(qlogn)
3.ST(實質是動態規划) O(nlogn)-O(1)
線段樹方法:
線段樹能在對數時間內在數組區間上進行更新與查詢。
定義線段樹在區間[i, j] 上如下:
第一個節點維護着區間 [i, j] 的信息。
if i<j , 那么左孩子維護着區間[i, (i+j)/2] 的信息,右孩子維護着區間[(i+j)/2+1, j] 的信息。
可知 N 個元素的線段樹的高度 為 [logN] + 1(只有根節點的樹高度為0) .
下面是區間 [0, 9] 的一個線段樹:
線段樹和堆有一樣的結構, 因此如果一個節點編號為 x ,那么左孩子編號為2*x 右孩子編號為2*x+1.
使用線段樹解決RMQ問題,關鍵維護一個數組M[num],num=2^(線段樹高度+1).
M[i]:維護着被分配給該節點(編號:i 線段樹根節點編號:1)的區間的最小值元素的下標。 該數組初始狀態為-1.
1 #include<iostream> 2 3 using namespace std; 4 5 #define MAXN 100 6 #define MAXIND 256 //線段樹節點個數 7 8 //構建線段樹,目的:得到M數組. 9 void initialize(int node, int b, int e, int M[], int A[]) 10 { 11 if (b == e) 12 M[node] = b; //只有一個元素,只有一個下標 13 else 14 { 15 //遞歸實現左孩子和右孩子 16 initialize(2 * node, b, (b + e) / 2, M, A); 17 initialize(2 * node + 1, (b + e) / 2 + 1, e, M, A); 18 //search for the minimum value in the first and 19 //second half of the interval 20 if (A[M[2 * node]] <= A[M[2 * node + 1]]) 21 M[node] = M[2 * node]; 22 else 23 M[node] = M[2 * node + 1]; 24 } 25 } 26 27 //找出區間 [i, j] 上的最小值的索引 28 int query(int node, int b, int e, int M[], int A[], int i, int j) 29 { 30 int p1, p2; 31 32 33 //查詢區間和要求的區間沒有交集 34 if (i > e || j < b) 35 return -1; 36 37 //if the current interval is included in 38 //the query interval return M[node] 39 if (b >= i && e <= j) 40 return M[node]; 41 42 //compute the minimum position in the 43 //left and right part of the interval 44 p1 = query(2 * node, b, (b + e) / 2, M, A, i, j); 45 p2 = query(2 * node + 1, (b + e) / 2 + 1, e, M, A, i, j); 46 47 //return the position where the overall 48 //minimum is 49 if (p1 == -1) 50 return M[node] = p2; 51 if (p2 == -1) 52 return M[node] = p1; 53 if (A[p1] <= A[p2]) 54 return M[node] = p1; 55 return M[node] = p2; 56 57 } 58 59 60 int main() 61 { 62 int M[MAXIND]; //下標1起才有意義,保存下標編號節點對應區間最小值的下標. 63 memset(M,-1,sizeof(M)); 64 int a[]={3,1,5,7,2,9,0,3,4,5}; 65 initialize(1, 0, sizeof(a)/sizeof(a[0])-1, M, a); 66 cout<<query(1, 0, sizeof(a)/sizeof(a[0])-1, M, a, 0, 5)<<endl; 67 return 0; 68 }
ST算法(Sparse Table):它是一種動態規划的方法。
以最小值為例。a為所尋找的數組.
用一個二維數組f(i,j)記錄區間[i,i+2^j-1](持續2^j個)區間中的最小值。其中f[i,0] = a[i];
所以,對於任意的一組(i,j),f(i,j) = min{f(i,j-1),f(i+2^(j-1),j-1)}來使用動態規划計算出來。
這個算法的高明之處不是在於這個動態規划的建立,而是它的查詢:它的查詢效率是O(1).
假設我們要求區間[m,n]中a的最小值,找到一個數k使得2^k<n-m+1.
這樣,可以把這個區間分成兩個部分:[m,m+2^k-1]和[n-2^k+1,n].我們發現,這兩個區間是已經初始化好的.
前面的區間是f(m,k),后面的區間是f(n-2^k+1,k).
這樣,只要看這兩個區間的最小值,就可以知道整個區間的最小值!
1 #include<iostream> 2 #include<cmath> 3 #include<algorithm> 4 using namespace std; 5 6 #define M 100010 7 #define MAXN 500 8 #define MAXM 500 9 int dp[M][18]; 10 /* 11 *一維RMQ ST算法 12 *構造RMQ數組 makermq(int n,int b[]) O(nlog(n))的算法復雜度 13 *dp[i][j] 表示從i到i+2^j -1中最小的一個值(從i開始持續2^j個數) 14 *dp[i][j]=min{dp[i][j-1],dp[i+2^(j-1)][j-1]} 15 *查詢RMQ rmq(int s,int v) 16 *將s-v 分成兩個2^k的區間 17 *即 k=(int)log2(s-v+1) 18 *查詢結果應該為 min(dp[s][k],dp[v-2^k+1][k]) 19 */ 20 21 void makermq(int n,int b[]) 22 { 23 int i,j; 24 for(i=0;i<n;i++) 25 dp[i][0]=b[i]; 26 for(j=1;(1<<j)<=n;j++) 27 for(i=0;i+(1<<j)-1<n;i++) 28 dp[i][j]=min(dp[i][j-1],dp[i+(1<<(j-1))][j-1]); 29 } 30 int rmq(int s,int v) 31 { 32 int k=(int)(log((v-s+1)*1.0)/log(2.0)); 33 return min(dp[s][k],dp[v-(1<<k)+1][k]); 34 } 35 36 void makeRmqIndex(int n,int b[]) //返回最小值對應的下標 37 { 38 int i,j; 39 for(i=0;i<n;i++) 40 dp[i][0]=i; 41 for(j=1;(1<<j)<=n;j++) 42 for(i=0;i+(1<<j)-1<n;i++) 43 dp[i][j]=b[dp[i][j-1]] < b[dp[i+(1<<(j-1))][j-1]]? dp[i][j-1]:dp[i+(1<<(j-1))][j-1]; 44 } 45 int rmqIndex(int s,int v,int b[]) 46 { 47 int k=(int)(log((v-s+1)*1.0)/log(2.0)); 48 return b[dp[s][k]]<b[dp[v-(1<<k)+1][k]]? dp[s][k]:dp[v-(1<<k)+1][k]; 49 } 50 51 int main() 52 { 53 int a[]={3,4,5,7,8,9,0,3,4,5}; 54 //返回下標 55 makeRmqIndex(sizeof(a)/sizeof(a[0]),a); 56 cout<<rmqIndex(0,9,a)<<endl; 57 cout<<rmqIndex(4,9,a)<<endl; 58 //返回最小值 59 makermq(sizeof(a)/sizeof(a[0]),a); 60 cout<<rmq(0,9)<<endl; 61 cout<<rmq(4,9)<<endl; 62 return 0; 63 }