RMQ（ST算法）

RMQ（Range Minimum/Maximum Query），即區間最值查詢，是指這樣一個問題：對於長度為n的數列a，回答若干詢問RMQ（A,i,j）(i, j<=n)，返回數列a中下標在i，j之間的最小/大值。如果只有一次詢問，那樣只有一遍for就可以搞定，但是如果有許多次詢問就無法在很快的時間處理出來。在這里介紹一個在線算法。所謂在線算法，是指用戶每輸入一個查詢便馬上處理一個查詢。該算法一般用較長的時間做預處理，待信息充足以后便可以用較少的時間回答每個查詢。ST（Sparse Table）算法是一個非常有名的在線處理RMQ問題的算法，它可以在O(nlogn)時間內進行預處理，然后在O(1)時間內回答每個查詢。

步驟如下：

假設a數組為：

1， 3， 6， 7， 4， 2， 5

1.首先做預處理（以處理區間最小值為例）

設mn[i][j]表示從第i位開始連續2^j個數中的最小值。例如mn[2][1]為第2位數開始連續2個的數的最小值，即3, 6之間的最小值，即mn[2][1] = 3;

之后我們很容想到遞推方程：

mn[i][j] = min(mn[i][j - 1], mn[i + (1 << j - 1)][j - 1])

附上偽代碼：

for(int j = 0; j < 20; j ++)
    for(int i = 1; i + (1 << j) <= n + 1; i ++)
        mn[i][j] = min(mn[i][j - 1], mn[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);

咦？為什么第二行是i + （1 << j) <= n + 1呢？因為mn[i][j]表示連續2^j個數，所以mn[i][j]所維護的區間為[i, i + (1 << j) - 1],所以在最后要+1，其實是為了方便，寫成i + (1 << j) - 1 <= n感覺左邊太長了，所以寫在右邊了。

那么為什么j要寫在外圍？如果寫在里面的輸出結果是這樣的

我們會發現沒有更新過，這是為什么呢？ 因為我們在更新的時候是通過要通過2^(j - 1)的區間來更新2^j的區間，來看狀態轉移方程：

mn[i][j] = min(mn[i][j - 1], mn[i + (1 << j - 1)][j - 1])

我們發現如果j寫在里面的話，在更新mn[i][j]的時候會發現mn[i +(1<<j - 1)][j - 1]還沒有更新，所以才會出現這樣的結果，正確結果如下：

 

咦？為什么還有0？我們來看偽代碼：

for(int j = 0; j < 20; j ++)
    for(int i = 1; i + (1 << j) <= n + 1; i ++)
        mn[i][j] = min(mn[i][j - 1], mn[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);

看第二行會發現，對於i + （1  << j) - 1超過n的，我們沒有更新，如圖中的mn[5][2]，5 + 2^2 - 1 = 8 > 7所以沒有更新，但這並不影響詢問的結果。

2.查詢

假設我們需要查詢區間[l, r]中的最小值，令k = log2(r - l + 1); 則區間[l, r]的最小值RMQ[l,r] = min(mn[l][k], mn[r - (1 << k) + 1][k]);

那么為什么這樣就可以保證為區間最值嗎?

mn[l][k]維護的是[l, l + 2 ^ k - 1], mn[r - (1 << k) + 1][k]維護的是[r - 2 ^ k + 1, r] 。

那么我們只要保證r - 2 ^ k + 1 <= l + 2 ^ k - 1就能保證RMQ[l,r] = min(mn[l][k], mn[r - (1 << k) + 1][k])；

我們用分析法來證明下：

若r - 2 ^ k + 1 <= l + 2 ^ k - 1;

則r - l + 2 <= 2 ^ (k + 1);

又因為 k = log2(r - l + 1)；

則r - l + 2 <= 2 *(r - l + 1);

則r - l >= 0;

顯然可得。

由此得證。

我們來舉個例子 l = 4, r = 6;

此時k = log2(r - l + 1) = log2(3) = 1;

所以RMQ[4, 6] = min(mn[4][1], mn[5][1]);

mn[4][1] = 4, mn[5][1] = 2;

所以RMQ[4, 6] = min(mn[4][1], mn[5][1]) = 2;

我們很容易看出來了答案是正確的。

附上總代碼：（以結構體的形式寫出）：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 100000 + 5;

int a[N];

int mn[N][25];

int n, q, l, r;

struct RMQ{
    int log2[N];
    void init(){
        for(int i = 0; i <= n; i ++)log2[i] = (i == 0 ? -1 : log2[i >> 1] + 1);
        for(int j = 1; j < 20; j ++)
            for(int i = 1; i + (1 << j) <= n + 1; i ++)
                mn[i][j] = min(mn[i][j - 1], mn[i + (1 << j - 1)][j - 1]);
    }
    int query(int ql, int qr){
        int k = log2[qr - ql + 1];
        return min(mn[ql][k], mn[qr - (1 << k) + 1][k]);
    }
}rmq;

void work(){
    rmq.init();
    scanf("%d", &q);
    while(q --){
        scanf("%d%d", &l, &r);
        printf("%d\n", rmq.query(l, r));
    }
}

int main(){
    while(scanf("%d", &n) == 1){
        for(int i = 1; i <= n; i ++)scanf("%d", a + i), mn[i][0] = a[i];
        work();
    }
    return 0;
}

 

 參考論文：http://blog.csdn.net/niushuai666/article/details/6624672/