求最大公約數（GCD）的兩種算法

之前一直只知道歐幾里得輾轉相除法，今天學習了一下另外一種、在處理大數時更優秀的算法——Stein

特此記載

 

1.歐幾里得（Euclid）算法

又稱輾轉相除法，依據定理gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

實現過程演示： sample：gcd(15,10)=gcd(10,5)=gcd(5,0)=5

C語言實現：

int Euclid_GCD(int a, int b)
{
    return b?Euclid_GCD(b, a%b):a;
}

 

2.Stein 算法

一般實際應用中的整數很少會超過64位（當然現在已經允許128位了），對於這樣的整數，計算兩個數之間的模是很簡單的。對於字長為32位的平台，計算兩個不超過32位的整數的模，只需要一個指令周期，而計算64位以下的整數模，也不過幾個周期而已。但是對於更大的素數，這樣的計算過程就不得不由用戶來設計，為了計算兩個超過 64位的整數的模，用戶也許不得不采用類似於多位數除法手算過程中的試商法，這個過程不但復雜，而且消耗了很多CPU時間。對於現代密碼算法，要求計算 128位以上的素數的情況比比皆是，設計這樣的程序迫切希望能夠拋棄除法和取模。

依據定理：

gcd(a,a)=a，也就是一個數和其自身的公約數仍是其自身。

gcd(ka,kb)=k*gcd(a,b)，也就是 最大公約數運算和倍乘運算可以交換。特殊地，當k=2時，說明兩個偶數的 最大公約數必然能被2整除。

當k與b互為質數，gcd(ka,b)=gcd(a,b)，也就是約掉兩個數中只有其中一個含有的因子不影響 最大公約數。特殊地， 當k=2時，說明計算一個偶數和一個奇數的最大公約數時，可以先將偶數除以2。

 

C語言實現：

int Stein_GCD(int x, int y)
{
    if (x == 0) return y;
    if (y == 0) return x;
    if (x % 2 == 0 && y % 2 == 0)
        return 2 * Stein_GCD(x >> 1, y >> 1);
    else if (x % 2 == 0)
        return Stein_GCD(x >> 1, y);
    else if (y % 2 == 0)
        return Stein_GCD(x, y >> 1);
    else
        return Stein_GCD(min(x, y), fabs(x - y));
}