攝像機成像模型

攝像機成像模型表達了三維世界某點的幾何坐標與攝像機所得圖像上的相應點坐標的相互關系，建立適合的攝像機成像模型是三維測量中的重要步驟。

1 視覺坐標系

攝像機成像模型通過一系列坐標系來描述在空間中的點與該點在像平面上的投影之間的相互關系

1. 世界坐標系
   世界坐標系是指客觀世界下的一種絕對坐標系
2. 攝像機坐標系
   攝像機坐標系是以透鏡光學成像原理為基礎，其中坐標系原點 為攝像機的光心， 軸為攝像機光軸。
3. 像平面坐標系
   像平面坐標系是建立在攝像機光敏成像面上、原點在攝像機光軸上的二維坐標系，像平面坐標系平面的與攝像機坐標系平面平行，像平面坐標系原點為攝像機坐標系 軸與像平面坐標系的交點。
4. 圖像坐標系
   圖像坐標系是一種邏輯坐標系，存在於攝像機內存中，並以矩陣的形式進行存儲，原點 位於圖像的左上角，在獲知攝像機單位像元尺寸的情況下，圖像坐標系 可以與像平面坐標系 之間進行數據轉換。

2 小孔成像模型

圖為空間透鏡成像原理的結構示意圖，圖中的 \(u\)為物距， \(f\)為透鏡焦距， \(v\)為像距，根據幾何光學的高斯成像定理可知，物距 、焦距 與像距 三者之間的關系應該滿足如下關系：

\[\frac{1}{f} = \frac{1}{u} + \frac{1}{v} \]

在實際中，\(v> f\) ，則根據式 可知 ，即像距約等於焦距。小孔成像模型是一種理想的攝像機成像模型，該模型假設鏡頭不存在非線性畸變，物體表面的反射光線完全經過小孔線性投影到像平面上，效果所示。

3 攝像機成像模型

為了更好的描述空間點與像點之間的關系，需定義一種可以描述幾個坐標系相互關系的幾何模型。下圖給出了世界坐標系、攝像機坐標系及像平面坐標系三者都不重合的通用攝像機模型示意圖。

可知攝像機的鏡頭中心是攝像機坐標系的原點 ，像平面坐標中心 \(O_1\)是光軸與像平面坐標系的交點，由小孔成像模型可知， ， \(0\)為焦距。設 \(P\)點為空間中的一點， 在世界坐標系中的坐標為\(P(X_W , Y_W,Z_W)\) ，在攝像機坐標系中的坐標為\((x, y,z)\) ，經過投影后在像平面坐標系中的坐標為 ，在最終計算機圖像坐標系中的坐標為 ，圖2.6描述了 點在測量過程中的轉換過程。

(1)從世界坐標系轉換到攝像機坐標系
在已知世界坐標系與攝像機坐標系之間的空間關系即旋轉矩陣與平移矩陣的情況下，可以通過下式進行轉換：

(2)從攝像機坐標系轉換到像平面坐標系
根據透視投影幾何關系，坐標轉換表達式為：


(3)從像平面坐標系轉換到圖像坐標系
計算機采用數組的存儲方式來保存攝像機采集到的數字圖像，其中數組中每一個元素對應着圖像上某一行、某一列的一個像素，其單位為像素。

圖中\((u,v)\) 是以像素為單位的圖像坐標系，而\((X,Y)\) 是建立在攝像機光敏面上以物理單元為單位的像平面坐標系，假設攝像機單位像元在 \(X\)軸、 \(Y\)軸方向的上的物理尺寸為\(\alpha_x\) 、 \(\alpha_y\)，兩坐標系之間的轉換關系如下：

用齊次坐標表示：

綜上所述，當不考慮畸變影響且世界坐標系、攝像機坐標系、像平面坐標系及圖像坐標系都分開時的攝像機模型可表示為：

4 總結

攝像機的成像過程和透視投影過程有點類似，不過這里不用考慮深度問題，把讀書的論文扒出來做下紀念吧。