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攝像機模型，畸變模型及畸變圖像的矯正
luhan@mail.nankai.edu.cn
注1：文中所有圖的符號標注並不統一，一切以正文部分公式為准。
l 攝像機模型：
分若干步驟實現：
1) 小孔成像映射：
類似如上的小孔成像模型，重置一下攝像機坐標系位置，得如下小孔成像模型：
上圖中，小孔成像模型把空間坐標點（齊次坐標形式，最后多一項記為1）映射為距距攝像機坐標系平面位置為（單位為距離）的新平面上的點，其坐標描述為（齊次坐標形式，單位為距離）。映射關系描述如下：
2) 考慮主點偏移，轉化為像素值：
考慮主點偏移，轉化為像素坐標值如下：
其中，，單位均為 距離/像素。
3) 考慮像素坐標非矩陣因素：
如上圖，考慮像素坐標非矩陣因素后，像素坐標描述如下：
4) 整理如下：
其中，，均為攝像機內參矩陣中常見待標定參數，其單位均為 像素值。另外內參矩陣常用待標定參數包括主點位置。
注意：經常采用如下形式的坐標，記為歸一化圖像坐標（normalized image coordinates）：
則此時有：
歸一化圖像坐標的單位為1。其物理意義為：取一距離攝像機坐標系平面的位置為1的新平面（歸一化圖像平面，mormalized image plane），則表示坐標點在該平面上的映射點坐標。
5) 引入世界坐標系：
考慮世界坐標系與相機坐標系的矩陣變換（平移變換和旋轉變換），引入世界坐標系坐標后，有：
其中， 。
6) 最終小孔成像模型如下：
該模型為線性模型。
7) 對於攝像機內參數標定過程：
已知 ，則小孔成像模型變換為：
其中，。
記為單應矩陣，則有：，為常見標定模型。
l 畸變模型成因：
徑向畸變：原因是鏡頭不規整造成的，不能完全把攝像機等效為小孔的等比放大模型。
切向畸變：原因是安裝時鏡頭和感光片不完全平行，引入的非線性成像。
l 關於畸變模型的理解：
我的理解是，小孔成像模型描述了一個線性模型（包括對安裝時鏡頭和感光片不平行部分的描述，內參數K的K(1,2)），去擬合攝像機成像的真實模型。
但各種原因（包括鏡頭不規整和鏡頭與感光片不平行的問題）造成了成像的真實模型包括非線性部分，為了充分描述和擬合該非線性部分，引入了畸變模型。
l 畸變模型描述：
1) 畸變模型：
給模型加入的畸變部分全部是加入在歸一化圖像坐標上的：
(參考http://blog.csdn.net/pinbodexiaozhu/article/details/43374737 )
徑向畸變模型如下：
其中畸變系數為，張正有標定法（網上有現成代碼）等中有自動標出，采用的是LM非線性優化算法。但無考慮切向畸變。
切向畸變模型如下：
其中畸變系數為，張正有標定法中未標定，同時在Matlab較新版本自帶的cameraCalibrator工具箱中有標出。（不知道采用什么優化方法？）
Matlab較新版本自帶cameraCalibrator工具箱標定過程如下圖所示：
可參考：http://blog.csdn.net/Loser__Wang/article/details/51811347
l 圖像畸變校正：
現在的問題是：已標定出攝像機內參數模型、畸變模型（畸變系數），給定一幅畸變圖像，如何矯正圖像？
已有畸變圖像，已知該圖像上每一點坐標和像素值，目標是求得一幅去畸變圖像，即求得該去畸變圖像上的每一點坐標和像素值。常采用做法如下：
構造一個空圖像（作為去畸變圖像），針對每一點坐標，左乘內參矩陣 得歸一化坐標，利用畸變模型得畸變的歸一化坐標，再左乘內參矩陣得對應畸變坐標。由於求得的畸變坐標通常不為整數，需要在畸變圖像上采用插值方法得到像素值，賦值給。即得到完整去畸變圖像。
問題1：不能實現，在畸變圖像上選定一特征點，直接反向求取其在去畸變圖像上的坐標。需要先利用插值方法獲得整幅的去畸變圖像，然后再提取特征點。
問題2：對於徑向和切向畸變模型，按照什么順序什么方式疊加？
例：
采用網上找的例子：http://blog.csdn.net/Loser__Wang/article/details/51811347
攝像機內參數為：[445.0538, 0.1921, 327.1490; 0, 447.3691, 244.2735; 0, 0, 1]
徑向畸變系數：[k1, k2] = [-0.3203, 0.1177].
切向畸變系數：[p1, p2] = [-0.0055, 0.0014].
假設圖像分辨率為：640*480.（根據主點值猜測）
文中給出的待校正圖像和矯正后圖像，如下：
我在程序中僅考慮徑向畸變，和先徑向再切向畸變都矯正，得圖：
可見，圖像是得到了矯正，但顯示范圍變小了，不全了。原因是，我是截圖得到的圖片，不是文章采用的原始圖片。
另外的問題是，自己的程序耗時較長，openCV現成函數應該有優化。
采用自己的攝像機，對已有圖片去參數，結果如下，依次為：原圖、僅矯正徑向畸變圖、均矯正圖：